微分積分の問題

方針 べき級数 $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ を考えます。$S$ は $f\left(\frac{1}{4}\right)$ です。$f(x)$ を項別微分して等比級数に直し、その和を積分して $f(x)$ を求めます。

1. 収束半径 係数は $a_n=\frac{1}{n}$ です。
$$\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}\to 1(n\to \infty )$$
なので、収束半径は $R=1$ です。$x=\frac{1}{4}$ は $|x|<1$ を満たすので、$S=f\left(\frac{1}{4}\right)$ として計算してよいことがわかります。

2. 項別微分 収束半径の内側 $|x|<1$ では、べき級数を項別に微分できます。その結果は同じ収束半径 $1$ をもちます。
$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n-1}}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=1+x+x^2+\cdots$$
これは初項 $1$、公比 $x$ の無限等比級数です。$|x|<1$ では収束し、
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x}$$
となります。

3. 積分して $f(x)$ を求める $f(0)=0$ です。よって $|x|<1$ のとき
$$f(x)=f(0)+{\int }_0^x\frac{dt}{1-t}=[-\log (1-t){]}_0^x=-\log (1-x)$$
となります（$|x|<1$ では $1-t>0$ です）。

4. 値を代入 $x=\frac{1}{4}$ を代入すると
$$S=f\left(\frac{1}{4}\right)=-\log \left(1-\frac{1}{4}\right)=-\log \frac{3}{4}=\log \frac{4}{3}$$

したがって $S=\log \frac{4}{3}$ です。

$-\log (1-x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ が $|x|<1$ で成り立つ。$x=\frac{1}{4}$ を代入すると $S=-\log \left(1-\frac{1}{4}\right)=-\log \frac{3}{4}=\log \frac{4}{3}$。
検算: 数値で最初の数項を足すと $0.25+0.03125+0.005208+0.000977+0.000195+0.0000407+\cdots \approx 0.28768$。一方 $\log (4/3)=0.287682\dots$ で一致する。