微分積分の問題

方針：$\frac{1}{4}$ を $x$ に置きかえたべき級数を考えます。その収束半径を求め、収束する範囲の中で項別微分して和を関数として求めます。最後に $x=\frac{1}{4}$ を代入します。

1. べき級数を用意し、収束半径を求める

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$$
とおくと、$S=f\left(\frac{1}{4}\right)$ です。係数 $a_n=\frac{1}{n}$ について、
$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{n}{n+1}\to 1(n\to \infty )$$
となります。よって収束半径は $R=\frac{1}{1}=1$ で、$f(x)$ は $|x|<1$ で収束します。$x=\frac{1}{4}$ はこの範囲に入っています。

2. 項別微分する

収束半径の内側 $|x|<1$ では項別微分ができます。
$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n-1}}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=1+x+x^2+\cdots$$
これは初項 $1$、公比 $x$ の無限等比級数です。$|x|<1$ なので収束し、
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x}$$
となります。

3. 積分して $f(x)$ を求める

${\left(-\log (1-x)\right)}^{\prime }=\frac{1}{1-x}$ なので、$f(x)=-\log (1-x)+C$（$C$ は定数）と書けます。$f(0)=0$ ですから、$0=-\log 1+C$ より $C=0$ です。よって $|x|<1$ で
$$f(x)=-\log (1-x)$$
が成り立ちます。

4. $x=\frac{1}{4}$ を代入する
$$S=f\left(\frac{1}{4}\right)=-\log \left(1-\frac{1}{4}\right)=-\log \frac{3}{4}=\log \frac{4}{3}$$

$-\log (1-x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ が $|x|<1$ で成り立つ。$x=\frac{1}{4}$ を代入すると $S=-\log \left(1-\frac{1}{4}\right)=-\log \frac{3}{4}=\log \frac{4}{3}$。
検算: 最初の数項は $0.25+0.03125+0.005208+0.000977+0.000195+0.000041+\cdots \approx 0.28768$。一方 $\log (4/3)=0.287682\dots$ で一致する。