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微分積分の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学微分積分

実数 $x$ に対して、べき級数
$n = 1 \sum \infty \frac{( x - 2 ) ^{n}}{n \cdot 3 ^{n}}$
が収束するような $x$ の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

べき級数と収束半径（説明と入口の問題）
数列の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（53 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ の極限から収束半径を求めましょう。中心は $x = 2$ です。

ヒント 2

収束半径は $3$ なので、 $- 1 < x < 5$ で収束します。残るのは端点 $x = - 1$ と $x = 5$ の判定です。

ヒント 3

$x = 5$ では $\sum \frac{1}{n}$ 、 $x = - 1$ では $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ になります。それぞれの収束・発散を調べましょう。

答えと解説

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[- 1, 5)

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解説を読む

収束半径 $t = x - 2$ とおき、 $a_{n} = \frac{1}{n \cdot 3 ^{n}}$ とする。
$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n \cdot 3 ^{n}}{( n + 1 ) \cdot 3 ^{n + 1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{n + 1} \to \frac{1}{3} (n \to \infty)$
なので、ダランベールの判定法により収束半径は $R = 3$ である。よって $∣ x - 2∣ < 3$ 、すなわち $- 1 < x < 5$ では収束し（絶対収束）、 $∣ x - 2∣ > 3$ では発散する。

端点 $x = 5$ $t = 3$ のとき級数は
$n = 1 \sum \infty \frac{3 ^{n}}{n \cdot 3 ^{n}} = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}$
となり、調和級数なので発散する。

端点 $x = - 1$ $t = - 3$ のとき級数は
$n = 1 \sum \infty \frac{( - 3 ) ^{n}}{n \cdot 3 ^{n}} = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$
となる。 $\frac{1}{n}$ は単調に減少して $0$ に収束するので、交代級数の判定法（ライプニッツの判定法）により収束する。

結論収束する $x$ の範囲は $- 1 \leq x < 5$ である。

別解

$a_{n} = \frac{1}{n 3 ^{n}}$ とおくと $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n}{3 ( n + 1 )} \to \frac{1}{3}$ なので収束半径は 3。 $∣ x - 2∣ < 3$ 、すなわち $- 1 < x < 5$ で絶対収束する。
端点: $x = 5$ のとき $\sum \frac{1}{n}$ （調和級数）で発散。 $x = - 1$ のとき $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ で、交代級数の判定法（項の絶対値が単調減少して 0 に収束）により収束。
よって収束する範囲は $- 1 \leq x < 5$ 。

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