微分積分の問題

べき級数 $\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$ は収束半径 $1$ をもち、$|x|<1$ で項別微分できる。

$\sum n{x}^n$ の計算 両辺を $x$ で微分すると
$$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}\text{よって}\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}(|x|<1).$$

$\sum n^2{x}^n$ の計算 さらに微分すると
$$\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{x}^{n-1}=\frac{d}{dx}\frac{x}{(1-x{)}^2}=\frac{(1-x{)}^2+2x(1-x)}{(1-x{)}^4}=\frac{1+x}{(1-x{)}^3}$$
より
$$\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2{x}^n=\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}(|x|<1).$$

$x=\frac{1}{3}$ を代入 $\left|\frac{1}{3}\right|<1$ なので代入できる。
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{3}{4},$$
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{3}}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^3}=\frac{4}{9}\cdot \frac{27}{8}=\frac{3}{2}.$$

和 $n(n+2)=n^2+2n$ なので
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{3^n}+2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^n}=\frac{3}{2}+2\cdot \frac{3}{4}=3.$$

$r=\frac{1}{3}$ とおく。$|r|<1$ で ${\sum }_{n\ge 1}n{r}^n=\frac{r}{(1-r{)}^2}$, ${\sum }_{n\ge 1}{n}^2{r}^n=\frac{r(1+r)}{(1-r{)}^3}$（項別微分で得られる）。
$$\sum n{r}^n=\frac{1/3}{4/9}=\frac{3}{4},\sum n^2{r}^n=\frac{(1/3)(4/3)}{8/27}=\frac{3}{2}.$$
$n(n+2)=n^2+2n$ より $S=\frac{3}{2}+2\cdot \frac{3}{4}=3$。検算: 部分和 $\frac{3}{3}+\frac{8}{9}+\frac{15}{27}+\frac{24}{81}+\frac{35}{243}+\frac{48}{729}+\cdots =1+0.889+0.556+0.296+0.144+0.066+0.029+\cdots \approx 3$。