微分積分の問題

方針： $x=\frac{1}{3}$ を代入すると $S$ になるべき級数を考え、その和を項別微分で求める。

手順 1（べき級数を用意する）
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$$
とおくと、$S=f\left(\frac{1}{3}\right)$ である。

手順 2（収束半径を求める）
係数は $a_n=\frac{1}{n}$ なので
$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{n}{n+1}\to 1(n\to \infty )$$
となり、収束半径は $R=1$ である。$\left|\frac{1}{3}\right|<1$ なので、$x=\frac{1}{3}$ は収束円の内部にある。

手順 3（項別微分する）
収束半径の内側 $|x|<1$ では項別微分ができ、
$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n-1}}{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^{n-1}=1+x+x^2+\cdots =\frac{1}{1-x}$$
となる（公比 $x$, $|x|<1$ の無限等比級数）。

手順 4（積分して $f(x)$ を求める）
$-\log (1-x)$ を微分すると $\frac{1}{1-x}$ になるので、$f(x)=-\log (1-x)+C$ と書ける。$f(0)=0$ より $C=0$ である。よって
$$f(x)=-\log (1-x)(|x|<1)$$

手順 5（代入する）
$$S=f\left(\frac{1}{3}\right)=-\log \left(1-\frac{1}{3}\right)=-\log \frac{2}{3}=\log \frac{3}{2}$$

$-\log (1-x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ が $|x|<1$ で成り立つ。$x=\frac{1}{3}$ を代入すると、$S=-\log \left(1-\frac{1}{3}\right)=-\log \frac{2}{3}=\log \frac{3}{2}$。
検算：最初の数項は $\frac{1}{3}+\frac{1}{18}+\frac{1}{81}+\frac{1}{324}+\frac{1}{1215}\approx 0.3333+0.05556+0.012346+0.003086+0.000823=0.40515$。第6項は $\frac{1}{4374}\approx 0.000229$ で、和は約 $0.40538$。$\log 1.5\approx 0.405465$ と一致する。