微分積分の問題

$x\to 0$ のとき分子も分母も $0$ に近づくので、$\frac{0}{0}$ 型の不定形です。分子と分母をそれぞれテイラー展開し、最初に現れる $0$ でない項（主要項）を比べます。

分子の展開
$e^t$ のマクローリン展開 $e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+o(t^2)(t\to 0)$ に $t=2x$ を代入すると、
$$e^{2x}=1+2x+\frac{(2x{)}^2}{2}+o(x^2)=1+2x+2x^2+o(x^2)$$
となります（$o((2x{)}^2)$ は $o(x^2)$ と同じです）。よって
$$e^{2x}-1-2x=2x^2+o(x^2).$$

分母の展開
$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ より
$$1-\cos x=\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

極限の計算
分子・分母をともに $x^2$ で割ると、$\frac{o(x^2)}{x^2}\to 0$ であるから
$$\frac{e^{2x}-1-2x}{1-\cos x}=\frac{2+\frac{o(x^2)}{x^2}}{\frac{1}{2}+\frac{o(x^2)}{x^2}}⟶\frac{2}{\frac{1}{2}}=4(x\to 0).$$

したがって、求める極限は $4$ です。

分子を $x=0$ のまわりでテイラー展開すると $e^{2x}-1-2x=\frac{(2x{)}^2}{2}+\frac{(2x{)}^3}{6}+\cdots =2x^2+O(x^3)$。分母は $1-\cos x=\frac{x^2}{2}+O(x^4)$。よって与式 $={\lim }_{x\to 0}\frac{2x^2+O(x^3)}{x^2/2+O(x^4)}={\lim }_{x\to 0}\frac{2+O(x)}{1/2+O(x^2)}=4$。

検算（ロピタルの定理）: 分子・分母とも $x\to 0$ で $0$ になる。微分すると $\frac{2e^{2x}-2}{\sin x}$ で、これも $0/0$ 型。もう一度微分すると $\frac{4e^{2x}}{\cos x}\to 4$。したがって極限は $4$。

数値確認: $x=0.1$ では分子 $=e^{0.2}-1.2=1.221403-1.2=0.021403$、分母 $=1-\cos 0.1=0.0049958$、比は約 $4.284$。$x=0.01$ では比は約 $4.03$ となり、$4$ に近づく。