微分積分の問題

$x\to 0$ のとき、分子は $e^0-1-\log 1=0$、分母も $0$ になるので $\frac{0}{0}$ 型の不定形です。分母が $x^2$ なので、分子を $x^2$ の項まで漸近展開します。

手順 1：各関数を $x^2$ の項まで展開する。

マクローリン展開より、$x\to 0$ のとき
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2),$$
$$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$$
です。ここで $o(x^2)$ は「$x^2$ で割ると $x\to 0$ で $0$ に近づく量」を表します。

手順 2：分子に代入して整理する。

$$e^x-1-\log (1+x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)-1-\left(x-\frac{x^2}{2}\right)+o(x^2)=x^2+o(x^2).$$
定数項と $x$ の項は打ち消し合い、最初に残る項は $x^2$ です（$o(x^2)$ どうしの和・差もまた $o(x^2)$ です）。

手順 3：分母で割って極限をとる。

$$\frac{e^x-1-\log (1+x)}{x^2}=\frac{x^2+o(x^2)}{x^2}=1+\frac{o(x^2)}{x^2}.$$
$o(x^2)$ の定義より $\frac{o(x^2)}{x^2}\to 0(x\to 0)$ なので、
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-\log (1+x)}{x^2}=1.$$

マクローリン展開を用いる。$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$、$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ である。したがって $e^x-1-\log (1+x)=x^2-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ となる。これを $x^2$ で割ると $1-\frac{x}{6}+o(x)$ となり、$x\to 0$ で $1$ に収束する。

検算（ロピタルの定理）：分子の導関数は $e^x-\frac{1}{1+x}$、分母の導関数は $2x$。どちらも $x\to 0$ で $0$ になるので、もう一度微分する。分子の2階導関数は $e^x+\frac{1}{(1+x{)}^2}$ で $x=0$ のとき $2$、分母の2階導関数は $2$。よって極限は $2/2=1$ となり、展開による結果と一致する。