微分積分の問題

$x\to 0$ のとき分子・分母はともに $0$ に近づくので、$\frac{0}{0}$ 型の不定形です。分子を $\cos x$ のテイラー展開（マクローリン展開）で書き直します。

手順 1：どこまで展開するかを決める

分母が $x^4$ なので、分子は $x^4$ の項まで正確に求め、それより高次の部分を $o(x^4)$ とまとめれば十分です。

手順 2：$\cos x$ を展開する

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)(x\to 0)$$

手順 3：分子に代入して整理する

$$2\cos x=2-x^2+\frac{x^4}{12}+o(x^4)$$
より
$$2\cos x-2+x^2=\frac{x^4}{12}+o(x^4).$$
定数項と $x^2$ の項は打ち消し合い、最初に残るのは $x^4$ の項です。（$o(x^4)$ を $2$ 倍しても $o(x^4)$ のままです。）

手順 4：分母で割って極限をとる

$$\frac{2\cos x-2+x^2}{x^4}=\frac{1}{12}+\frac{o(x^4)}{x^4}.$$
$o(x^4)$ の定義から $\frac{o(x^4)}{x^4}\to 0(x\to 0)$ なので、
$$L=\frac{1}{12}.$$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$ より、$2\cos x=2-x^2+\frac{x^4}{12}-\cdots$。よって分子は $2\cos x-2+x^2=\frac{x^4}{12}+O(x^6)$。これを $x^4$ で割って $x\to 0$ とすると $L=\frac{1}{12}$。検算：$x=0.1$ のとき $\cos 0.1=0.995004165278$、$2\cos x-2+x^2=1.990008330556-2+0.01=0.000008330556$。$x^4=0.0001$ で割ると $0.0833056$ で $1/12=0.08333\dots$ に近い。