微分積分の問題

通分すると
$$\cos x-\frac{1+a{x}^2}{1+b{x}^2}=\frac{(1+b{x}^2)\cos x-(1+a{x}^2)}{1+b{x}^2}$$
となる。$x\to 0$ のとき分母は $1+b{x}^2\to 1$ であるから、$L$ が有限の値に収束するための条件は、分子
$$N(x)=(1+b{x}^2)\cos x-(1+a{x}^2)$$
について $\frac{N(x)}{x^6}$ が有限の値に収束することであり、このとき $L={\lim }_{x\to 0}\frac{N(x)}{x^6}$ である。

$\cos x$ のマクローリン展開
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8)$$
を用いると
$$(1+b{x}^2)\cos x=1+\left(b-\frac{1}{2}\right)x^2+\left(\frac{1}{24}-\frac{b}{2}\right)x^4+\left(-\frac{1}{720}+\frac{b}{24}\right)x^6+O(x^8)$$
であるから
$$N(x)=\left(b-\frac{1}{2}-a\right)x^2+\left(\frac{1}{24}-\frac{b}{2}\right)x^4+\left(-\frac{1}{720}+\frac{b}{24}\right)x^6+O(x^8).$$
$N(x)/x^6$ が有限の値に収束するためには、$x^2$ と $x^4$ の係数がともに $0$ でなければならない（そうでなければ $N(x)/x^6$ は発散する）。よって
$$\frac{1}{24}-\frac{b}{2}=0,b-\frac{1}{2}-a=0$$
より $b=\frac{1}{12}$、$a=\frac{1}{12}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{12}$ と一意に定まる。

このとき $x^6$ の係数は
$$-\frac{1}{720}+\frac{1}{12}\cdot \frac{1}{24}=-\frac{1}{720}+\frac{1}{288}=\frac{-2+5}{1440}=\frac{3}{1440}=\frac{1}{480}$$
なので $N(x)=\frac{x^6}{480}+O(x^8)$ となり、
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{1+b{x}^2}\cdot \frac{N(x)}{x^6}=1\cdot \frac{1}{480}=\frac{1}{480}.$$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O(x^8)$ と展開する。

$\frac{1+a{x}^2}{1+b{x}^2}=(1+a{x}^2)(1-b{x}^2+b^2{x}^4-b^3{x}^6+\cdots )=1+(a-b)x^2-b(a-b)x^4+b^2(a-b)x^6+O(x^8)$。

極限が有限であるためには $x^2,x^4$ の係数が一致する必要がある。
- $x^2$: $a-b=-\frac{1}{2}$
- $x^4$: $-b(a-b)=\frac{b}{2}=\frac{1}{24}$ より $b=\frac{1}{12}$、よって $a=-\frac{5}{12}$

このとき $x^6$ の係数の差は
$-\frac{1}{720}-b^2(a-b)=-\frac{1}{720}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{144}=-\frac{2}{1440}+\frac{5}{1440}=\frac{3}{1440}=\frac{1}{480}$。

したがって $L=\frac{1}{480}$。

検算: $a=-5/12,b=1/12$ のとき $\frac{1+a{x}^2}{1+b{x}^2}=\frac{12-5x^2}{12+x^2}$。$x^6$ の係数は $b^2(a-b)=\frac{1}{144}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{288}$ であり、$\cos x$ の係数 $-\frac{1}{720}$ との差は $-\frac{1}{720}+\frac{1}{288}=\frac{1}{480}$ で一致する。