微分積分の問題

テイラー展開 $x\to 0$ のとき
$$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+O(x^5)$$
である。また $|bx|<1$ のとき
$$\frac{1}{1+bx}=1-bx+b^2{x}^2-b^3{x}^3+O(x^4)$$
なので
$$\frac{x+a{x}^2}{1+bx}=(x+a{x}^2)(1-bx+b^2{x}^2-b^3{x}^3+O(x^4))$$
$$=x+(a-b)x^2+(b^2-ab)x^3+(a{b}^2-b^3)x^4+O(x^5)$$

よって
$$\log (1+x)-\frac{x+a{x}^2}{1+bx}=\left(-\frac{1}{2}-a+b\right)x^2+\left(\frac{1}{3}-b^2+ab\right)x^3+\left(-\frac{1}{4}-a{b}^2+b^3\right)x^4+O(x^5)$$

極限が存在する条件 これを $x^4$ で割った式が $x\to 0$ で有限の極限をもつには、$x^2,x^3$ の係数がともに $0$ でなければならない（そうでないと発散する）。
$$b-a=\frac{1}{2},b(b-a)=\frac{1}{3}$$
第1式を第2式に代入して $\frac{b}{2}=\frac{1}{3}$、よって $b=\frac{2}{3}$、$a=b-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$。逆にこのとき $x^2,x^3$ の係数は $0$ になるので、$a,b$ はこの値に限る。

極限値 $x^4$ の係数は
$$-\frac{1}{4}-a{b}^2+b^3=-\frac{1}{4}+b^2(b-a)=-\frac{1}{4}+\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{4}+\frac{2}{9}=-\frac{9}{36}+\frac{8}{36}=-\frac{1}{36}$$
したがって
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{36}+O(x)\right)=-\frac{1}{36}$$

$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+O(x^5)$。

$\frac{x+a{x}^2}{1+bx}=(x+a{x}^2)(1-bx+b^2{x}^2-b^3{x}^3+\cdots )$ を展開すると
$$x+(a-b)x^2+(b^2-ab)x^3+(a{b}^2-b^3)x^4+O(x^5).$$

差 $\log (1+x)-\frac{x+a{x}^2}{1+bx}$ の係数:
- $x$: $1-1=0$
- $x^2$: $-\frac{1}{2}-(a-b)$
- $x^3$: $\frac{1}{3}-b(b-a)$
- $x^4$: $-\frac{1}{4}-b^2(a-b)$

極限 $L$ が有限であるには $x,x^2,x^3$ の係数が 0 である必要がある。
$a-b=-\frac{1}{2}$、$b(b-a)=\frac{1}{3}$。後者に $b-a=\frac{1}{2}$ を代入して $\frac{b}{2}=\frac{1}{3}$ より $b=\frac{2}{3}$、$a=b-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$。

このとき $x^4$ の係数は $-\frac{1}{4}-\frac{4}{9}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}+\frac{2}{9}=-\frac{1}{36}$。

よって $L=-\frac{1}{36}$。

検算: $a=\frac{1}{6},b=\frac{2}{3}$ で $\frac{x+x^2/6}{1+2x/3}=\frac{6x+x^2}{6+4x}$。$x=0.1$ で $\frac{0.61}{6.4}=0.0953125$、$\log 1.1=0.0953102$。差 $\approx -2.3\times 10^{-6}$、$x^4=10^{-4}$ で割ると約 $-0.023$ で $-\frac{1}{36}\approx -0.0278$ に近い（高次項の寄与）。