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微分積分の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学微分積分

極限
$L = x \to 0 lim \frac{x - arctan x}{x - sin x}$
の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数とする。

この問題で使うもの

漸近展開と極限（説明と入口の問題）
テイラー展開（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

分子・分母ともに $x \to 0$ で $0$ に近づきます。 $arctan x$ と $sin x$ をマクローリン展開して、最初に残る項を比べましょう。

ヒント 2

$arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + O (x^{5})$ 、 $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + O (x^{5})$ です。

ヒント 3

分子は $\frac{x ^{3}}{3} + O (x^{5})$ 、分母は $\frac{x ^{3}}{6} + O (x^{5})$ になります。 $x^{3}$ で割って極限をとりましょう。

答えと解説

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2

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解説を読む

$x = 0$ のまわりのマクローリン展開を用いる。

$arctan x$ の展開 $\frac{1}{1 + t ^{2}} = 1 - t^{2} + O (t^{4})$ を $0$ から $x$ まで積分すると
$arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + O (x^{5}) .$
よって
$x - arctan x = \frac{x ^{3}}{3} + O (x^{5}) .$

$sin x$ の展開 $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + O (x^{5})$ より
$x - sin x = \frac{x ^{3}}{6} + O (x^{5}) .$

極限分子・分母を $x^{3}$ で割ると
$\frac{x - arctan x}{x - sin x} = \frac{\frac{1}{3} + O ( x ^{2} )}{\frac{1}{6} + O ( x ^{2} )} \to \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} = 2 (x \to 0) .$

よって $L = 2$ である。

別解

マクローリン展開より $arctan x = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots$ , $sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots$ 。
$x - arctan x = \frac{x ^{3}}{3} + O (x^{5})$ , $x - sin x = \frac{x ^{3}}{6} + O (x^{5})$ 。したがって
$L = x \to 0 lim \frac{\frac{1}{3} + O ( x ^{2} )}{\frac{1}{6} + O ( x ^{2} )} = 2.$
別解（ロピタルの定理）: 分子分母を微分すると $\frac{1 - \frac{1}{1 + x ^{2}}}{1 - c o s x} = \frac{x ^{2} / ( 1 + x ^{2} )}{1 - c o s x} \to \frac{x ^{2}}{x ^{2} /2} = 2$ 。

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