変分法・最適制御の問題

乗数法則 $G[y]={\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$ とおき、$y$ を最小値を与える関数とする。変分は $\eta \in C^1[-1,1]$, $\eta (\pm 1)=0$ でとる。もし $G$ の第 1 変分 ${\int }_{-1}^1\frac{y^{\prime }{\eta }^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}dx$ がすべての $\eta$ に対して $0$ なら、デュボア・レイモンの補題より $\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$ は定数、したがって $y^{\prime }$ は定数で、境界条件から $y\equiv 0$ となり、長さが $2\ne L$ で矛盾する。よって $G$ の第 1 変分は $0$ でなく、ラグランジュの乗数法則により、ある定数 $\lambda$ があって $F(y,y^{\prime })=(y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ について
$${\int }_{-1}^1\left(F_y\eta +F_{y^{\prime }}{\eta }^{\prime }\right)dx=0(\text{すべての }\eta )$$
が成り立つ。ここで $F_y=\sqrt{1+y^{\prime 2}}$, $F_{y^{\prime }}=\frac{(y-\lambda )y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$ である。

デュボア・レイモンの積分形 $y$ は $C^1$ 級にすぎないので、オイラー・ラグランジュ方程式をそのまま微分して使うことはできない。代わりにデュボア・レイモンの補題を使うと、
$$p(x):=\frac{(y-\lambda )y^{\prime }}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}={\int }_{-1}^x\sqrt{1+y^{\prime }(t{)}^2}dt+C$$
となる。右辺は $C^1$ 級なので $p$ は $C^1$ 級で、
$$p^{\prime }(x)=\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}(\ge 1).(1)$$

第 1 積分（ベルトラミの式の正当化） $u=y-\lambda$（$C^1$ 級）とおくと
$$u^2-p^2=u^2\left(1-\frac{y^{\prime 2}}{1+y^{\prime 2}}\right)=\frac{u^2}{1+y^{\prime 2}}.$$
左辺は $C^1$ 級で、$(1)$ より
$$\frac{d}{dx}(u^2-p^2)=2u{y}^{\prime }-2p\sqrt{1+y^{\prime 2}}=2u{y}^{\prime }-2u{y}^{\prime }=0.$$
よって $\frac{u^2}{1+y^{\prime 2}}=k^2$（$k\ge 0$ は定数）が $[-1,1]$ 全体で成り立つ。これが $C^2$ 級を仮定せずに得たベルトラミの式である。

$k=0$ なら $u\equiv 0$、すなわち $y\equiv \lambda$ で、境界条件から $y\equiv 0$ となり長さが $2\ne L$ なので不適。よって $k>0$ で、$|u|=k\sqrt{1+y^{\prime 2}}\ge k>0$ だから $u$ は $0$ にならず、連続性から符号は一定である。そこで $c=\pm k(\ne 0)$ を $u$ と同符号にとると
$$y-\lambda =c\sqrt{1+y^{\prime 2}}.(2)$$

懸垂線であること $(2)$ を $p$ の定義に代入すると $p=c{y}^{\prime }$。$p$ は $C^1$ 級なので $y^{\prime }$ も $C^1$ 級、すなわち $y$ は $C^2$ 級で、$(1)$ から
$$c{y}^{\prime \prime }=\sqrt{1+y^{\prime 2}}.$$
これは $v=y^{\prime }$ についての 1 階方程式 $v^{\prime }=\frac{1}{c}\sqrt{1+v^2}$（右辺はリプシッツ連続）なので、解は $\mathrm{arsinh}v=\frac{x-x_0}{c}$、すなわち $y^{\prime }=\sinh \frac{x-x_0}{c}$ に限られる。$(2)$ に代入して
$$y(x)=\lambda +c\cosh \frac{x-x_0}{c}.$$
（$(2)$ だけを見ると、$y^{\prime }=0$ の点で定数関数 $y\equiv \lambda +c$ と懸垂線の底をつないだ $C^1$ 級の関数も $(2)$ を満たすが、定数の部分では $p=0$ なので $p^{\prime }=0$ となり、$(1)$ の $p^{\prime }=1$ に反する。したがってそのような関数は停留曲線ではなく、上のように $(1)$ を使うことで除かれている。）

境界条件 $y(-1)=y(1)$ より $\cosh \frac{1-x_0}{c}=\cosh \frac{-1-x_0}{c}$、すなわち $|1-x_0|=|1+x_0|$ なので $x_0=0$。さらに $y(1)=0$ から $\lambda =-c\cosh \frac{1}{c}$。よって
$$y(x)=c\left(\cosh \frac{x}{c}-\cosh \frac{1}{c}\right).$$

長さの条件 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh \frac{x}{c}$ なので、$a=|c|$ とおくと（$\cosh$ は偶関数）
$${\int }_{-1}^1\cosh \frac{x}{a}dx=2a\sinh \frac{1}{a}=L.$$
$g(a)=2a\sinh \frac{1}{a}=2\frac{\sinh t}{t}\left(t=\frac{1}{a}\right)$ で、$\frac{\sinh t}{t}$ は $t>0$ で狭義単調増加なので、$g$ は $a>0$ で狭義単調減少（$a\to \infty$ で $2$ に近づく）。よって解 $a$ はただ 1 つ。$a=\frac{1}{\log 2}$ とすると $\sinh (\log 2)=\frac{2-\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ より $g(a)=\frac{2}{\log 2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2\log 2}=L$ となるから、$|c|=\frac{1}{\log 2}$。停留曲線は $c=\pm \frac{1}{\log 2}$ の 2 本である。

$J$ の値 $y=c\left(\cosh \frac{x}{c}-\cosh \frac{1}{c}\right)$ に対し
$$J={\int }_{-1}^{1}c\left(\cosh \frac{x}{c}-\cosh \frac{1}{c}\right)\cosh \frac{x}{c}dx.$$
$c>0$ のとき、${\int }_{-1}^1{\cosh }^2\frac{x}{c}dx={\int }_{-1}^1\frac{1+\cosh \frac{2x}{c}}{2}dx=1+\frac{c}{2}\sinh \frac{2}{c}$、${\int }_{-1}^1\cosh \frac{x}{c}dx=2c\sinh \frac{1}{c}$ より
$$J=c+\frac{c^2}{2}\sinh \frac{2}{c}-c^2\cdot 2\sinh \frac{1}{c}\cosh \frac{1}{c}=c-\frac{c^2}{2}\sinh \frac{2}{c}.$$
$c<0$ のときの停留曲線は $c>0$ のものの符号を反転したもの（$\cosh$ は偶関数）なので、$J$ の値は符号が反対になる。最小値を与える関数は上で示したとおりこの 2 本のどちらかなので、最小値は $J$ が負になる $c=\frac{1}{\log 2}>0$（下に垂れ下がる懸垂線）で与えられる。

$\frac{2}{c}=2\log 2=\log 4$ より $\sinh \frac{2}{c}=\frac{4-\frac{1}{4}}{2}=\frac{15}{8}$。よって
$$J_{\min }=\frac{1}{\log 2}-\frac{1}{2(\log 2{)}^2}\cdot \frac{15}{8}=\frac{1}{\log 2}-\frac{15}{16(\log 2{)}^2}=\frac{16\log 2-15}{16(\log 2{)}^2}.$$
（数値は約 $-0.509$。もう一方の停留曲線では $J\approx +0.509$ となり、こちらは最小ではない。）

長さ一定の制約つき変分問題なので、ラグランジュ乗数 $\lambda$ を用いて $F=(y-\lambda )\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ のオイラー・ラグランジュ方程式を考える。$F$ は $x$ を陽に含まないのでベルトラミの恒等式より $F-y^{\prime }{F}_{y^{\prime }}=\frac{y-\lambda }{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=$ 定数 $=a$ となり、解は懸垂線 $y=a\cosh \frac{x-x_0}{a}+\lambda$ である。境界条件が左右対称なので $x_0=0$、$y(\pm 1)=0$ より $y=a\cosh \frac{x}{a}-a\cosh \frac{1}{a}$。

長さの条件: $y^{\prime }=\sinh (x/a)$, $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\cosh (x/a)$ より ${\int }_{-1}^1\cosh (x/a)dx=2a\sinh \frac{1}{a}=L$。$t=1/a$ とおくと $\frac{2\sinh t}{t}=\frac{3}{2\log 2}$。$t=\log 2$ のとき $\sinh t=\frac{2-1/2}{2}=\frac{3}{4}$ なので左辺 $=\frac{3}{2\log 2}$ となり成立する。左辺は $t>0$ で単調増加なので解は一意、$a=\frac{1}{\log 2}$、$\cosh t=\frac{5}{4}$、$\sinh 2t=2\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{8}$。

汎関数の値: $J={\int }_{-1}^1\left(a{\cosh }^2\frac{x}{a}-a\cosh t\cosh \frac{x}{a}\right)dx$。${\int }_{-1}^1{\cosh }^2\frac{x}{a}dx=1+\frac{a}{2}\sinh 2t$、${\int }_{-1}^1\cosh \frac{x}{a}dx=2a\sinh t$ より
$J=a+\frac{a^2}{2}\sinh 2t-2a^2\sinh t\cosh t=a+\frac{a^2}{2}\sinh 2t-a^2\sinh 2t=a-\frac{a^2}{2}\sinh 2t$。
代入して $J=\frac{1}{\log 2}-\frac{15}{16(\log 2{)}^2}$（約 $-0.5086$）。

検算: $\log 2\approx 0.693147$, $1/\log 2\approx 1.442695$, $(\log 2{)}^2\approx 0.480453$, $15/16/0.480453\approx 1.95126$。差は $\approx -0.50857$。また $y(x)\le 0$ なので $J<0$ で整合的。