変分法・最適制御の問題

被積分関数は $L(y,y^{\prime })=\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{y}$ で、$x$ を陽に含まない。したがってオイラー・ラグランジュ方程式の解はベルトラミの公式（第 1 積分）
$$L-y^{\prime }\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=C(C\text{ は定数})$$
を満たす。

ベルトラミの公式を計算する. $\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }}{y\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$ なので
$$L-y^{\prime }\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{y}-\frac{y^{\prime 2}}{y\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{(1+y^{\prime 2})-y^{\prime 2}}{y\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{1}{y\sqrt{1+y^{\prime 2}}}.$$
よって $\frac{1}{y\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$ である。左辺は正なので $C>0$ であり、$R=\frac{1}{C}>0$ とおくと
$$y\sqrt{1+y^{\prime 2}}=R.(1)$$

1 階の微分方程式を解く. $(1)$ の両辺を 2 乗して $y^2(1+y^{\prime 2})=R^2$、すなわち
$$(y{y}^{\prime }{)}^2=R^2-y^2.$$
これより $0<y<R$ となる範囲で $\frac{y{y}^{\prime }}{\sqrt{R^2-y^2}}=\pm 1$ であり、変数分離して積分すると
$$-\sqrt{R^2-y^2}=\pm (x-x_0)(x_0\text{ は定数}).$$
両辺を 2 乗して
$$(x-x_0{)}^2+y^2=R^2.(2)$$
停留曲線は中心が $x$ 軸上にある円の上半分（の一部）である。

境界条件で定数を決める. $(2)$ に $(0,1)$, $(1,\sqrt{2})$ を代入すると
$$x_0^2+1=R^2,(1-x_0{)}^2+2=R^2.$$
辺々引いて $x_0^2+1=1-2x_0+x_0^2+2$ より $2x_0=2$、$x_0=1$。よって $R^2=2$ である。$y>0$ なので
$$y(x)=\sqrt{2-(x-1{)}^2}=\sqrt{1+2x-x^2}.$$
これは $[0,1]$ で正で $C^2$ 級であり、条件を満たす。

値を求める.
$$y\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{1+1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.$$

$L=\sqrt{1+y^{\prime 2}}/y$ は $x$ をあらわに含まないので、ベルトラミの恒等式 $y^{\prime }{L}_{y^{\prime }}-L=\text{const}$ が成り立つ。計算すると $y^{\prime }{L}_{y^{\prime }}-L=\frac{y^{\prime 2}}{y\sqrt{1+y^{\prime 2}}}-\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{y}=-\frac{1}{y\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$ なので、$y\sqrt{1+y^{\prime 2}}=C$（$C>0$ は定数）。これは $y^2(1+y^{\prime 2})=C^2$ で、解は円 $(x-a{)}^2+y^2=C^2$ の上半分（$y^{\prime }=0$ の定数解は境界条件を満たさない）。
境界条件: $y(0)=1$ より $a^2+1=C^2$、$y(1)=\sqrt{2}$ より $(1-a{)}^2+2=C^2$。辺々引いて $a^2+1=a^2-2a+3$ より $a=1$、$C^2=2$。よって $y(x)=\sqrt{2-(x-1{)}^2}$（$[0,1]$ で $y\ge 1>0$ で $C^2$ 級）。
$y(1/2)=\sqrt{2-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。
検算: $y^{\prime }=-(x-1)/y$ より $y^2(1+y^{\prime 2})=y^2+(x-1{)}^2=2$ で一定。$y(0)=\sqrt{2-1}=1$、$y(1)=\sqrt{2}$ も確認できる。