変分法・最適制御の問題

停留曲線がサイクロイドであることを導く. 被積分関数 $L=\frac{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}{\sqrt{2gy}}$ は $x$ を陽に含まないので、ベルトラミの公式 $L-y^{\prime }\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=C$ が使える。$\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=\frac{y^{\prime }}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}$ より
$$L-y^{\prime }\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=\frac{(1+y^{\prime 2})-y^{\prime 2}}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\frac{1}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C.$$
よって $y(1+y^{\prime 2})=\frac{1}{2g{C}^2}$ で、右辺の正の定数を $2a$ とおくと
$$y(1+y^{\prime 2})=2a.(1)$$
ここで $y=a(1-\cos \theta )=2a{\sin }^2\frac{\theta }{2}$ とおくと、$(1)$ より $1+y^{\prime 2}=\frac{1}{{\sin }^2(\theta /2)}$、$y^{\prime 2}=\frac{{\cos }^2(\theta /2)}{{\sin }^2(\theta /2)}$。出発直後は $y$ が増加するので $y^{\prime }=\frac{\cos (\theta /2)}{\sin (\theta /2)}$ をとる。$dy=2a\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}d\theta$ より
$$dx=\frac{dy}{y^{\prime }}=2a{\sin }^2\frac{\theta }{2}d\theta =a(1-\cos \theta )d\theta .$$
$\theta =0$ で $x=0$ となるように積分して
$$x=a(\theta -\sin \theta ),y=a(1-\cos \theta ).$$
停留曲線は原点を出発するサイクロイドである。

終点の条件から $a$ と ${\theta }_1$ を決める. 終点 $B$ に対応する媒介変数を ${\theta }_1$ とすると
$$a({\theta }_1-\sin {\theta }_1)=\pi -2,a(1-\cos {\theta }_1)=2.$$
辺々割ると $\frac{{\theta }_1-\sin {\theta }_1}{1-\cos {\theta }_1}=\frac{\pi -2}{2}$。左辺 $f(\theta )=\frac{\theta -\sin \theta }{1-\cos \theta }$ は $0<\theta <2\pi$ で単調増加である（$f^{\prime }(\theta )$ の分子は $2-2\cos \theta -\theta \sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\left(2\sin \frac{\theta }{2}-\theta \cos \frac{\theta }{2}\right)>0$）から、解はただ 1 つである。${\theta }_1=\frac{\pi }{2}$ とすると $\frac{\pi /2-1}{1}=\frac{\pi -2}{2}$ となり成り立つので ${\theta }_1=\frac{\pi }{2}$。このとき $a=\frac{2}{1-\cos (\pi /2)}=2$。

到達時間を求める. サイクロイド上で
$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=a\sqrt{(1-\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta }d\theta =a\sqrt{2(1-\cos \theta )}d\theta =2a\sin \frac{\theta }{2}d\theta ,$$
$$\sqrt{2gy}=\sqrt{4ga{\sin }^2\frac{\theta }{2}}=2\sqrt{ga}\sin \frac{\theta }{2}$$
なので $\frac{ds}{\sqrt{2gy}}=\sqrt{\frac{a}{g}}d\theta$。したがって
$$T={\int }_0^{{\theta }_1}\sqrt{\frac{a}{g}}d\theta ={\theta }_1\sqrt{\frac{a}{g}}=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{2}{g}}=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{g}}=\frac{\pi }{\sqrt{2g}}.$$

被積分関数は $x$ を陽に含まないので、ベルトラミの恒等式より $\frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=\text{const}$、すなわち $y(1+y^{\prime 2})=2r$（定数）。解はサイクロイド $x=r(\theta -\sin \theta ),y=r(1-\cos \theta )$（$O$ で尖点、$y(0)=0$ かつ $y>0$）。

$B(\pi -2,2)$ を通る条件: $r(1-\cos \theta )=2,r(\theta -\sin \theta )=\pi -2$。$\theta =\pi /2$ とすると $r=2$ で、$x=2(\pi /2-1)=\pi -2$ となり両式を満たす。

時間: $ds=\sqrt{x_{\theta }^2+y_{\theta }^2}d\theta =2r\sin (\theta /2)d\theta$、$\sqrt{2gy}=\sqrt{2gr\cdot 2{\sin }^2(\theta /2)}=2\sqrt{gr}\sin (\theta /2)$。よって $T={\int }_0^{{\theta }_1}\frac{2r\sin (\theta /2)}{2\sqrt{gr}\sin (\theta /2)}d\theta =\sqrt{\frac{r}{g}}{\theta }_1$。

$r=2,{\theta }_1=\pi /2$ より $T=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{2}{g}}=\frac{\pi }{\sqrt{2g}}$。

検算: 速さ $v=\sqrt{2gy}$ のもとでエネルギー保存が成り立ち、$\theta =\pi /2$ では $y=2$ で $v=2\sqrt{g}$。$g=1$ では $T\approx 2.221$ で、直線（傾き $2/(\pi -2)$）に沿う時間より短いことも確認できる。