変分法・最適制御の問題

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとり、重力加速度の大きさを $g>0$ とする。原点 $O(0,0)$ と点 $B(\pi -2,2)$ を結ぶなめらかな曲線 $y=y(x)$（$y(0)=0$, $y(\pi -2)=2$, $0<x\le \pi -2$ で $y(x)>0$）に沿って、質点を $O$ から初速度 $0$ で静かに放す。摩擦と空気抵抗は無視でき、$B$ に到達するまでの時間は
$$T[y]={\int }_0^{\pi -2}\frac{\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}}{\sqrt{2gy(x)}}dx$$
で与えられる。$T[y]$ の停留曲線に沿ったときの到達時間（最短の到達時間）を、$g$ を用いて表せ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直下向きに $y$ 軸をとる。重力加速度の大きさを $g>0$ とし、直線
$$\ell :y=\sqrt{3}(2\pi -x)$$
を考える。

正の数 $x_1$ と、区間 $[0,x_1]$ 上の実数値関数 $y(x)$ が次の条件をすべて満たすとする。

- $y$ は $[0,x_1]$ で連続で、$(0,x_1]$ で $C^1$ 級である。
- $y(0)=0$ であり、$0<x\le x_1$ で $y(x)>0$ である。
- 終点 $(x_1,y(x_1))$ は直線 $\ell$ 上にある（$x_1$ は固定しない）。
- 次の積分が有限である。
$$T[y]={\int }_0^{x_1}\sqrt{\frac{1+y^{\prime }(x{)}^2}{2gy(x)}}dx$$

$T[y]$ は、原点に静止させた質点が曲線 $y=y(x)$ に沿って摩擦なく滑り、直線 $\ell$ に到達するまでの時間である。このような $(x_1,y)$ 全体にわたる $T[y]$ の最小値を、$g$ を用いて表せ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。長さ $\frac{3}{2}$ の一様な鎖の両端を 2 点 $A(-\log 2,0)$, $B(\log 2,0)$ に固定してつるす。鎖の形を区間 $[-\log 2,\log 2]$ 上の $C^2$ 級関数のグラフ $y=y(x)$ で表すと、鎖は位置エネルギーが最小になる形をとる。すなわち $y(x)$ は、境界条件 $y(-\log 2)=0$, $y(\log 2)=0$ と長さの制約 $${\int }_{-\log 2}^{\log 2}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{3}{2}$$ のもとで、汎関数 $$J[y]={\int }_{-\log 2}^{\log 2}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ を最小にする。この最小を与える曲線は存在し、ラグランジュの未定乗数法によるオイラー・ラグランジュ方程式の解のうち、下に凸なもの（懸垂線）であるとしてよい。このとき、鎖の最も低い点の $y$ 座標を求めよ。

鉛直面内に、水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとる。2 点 $(-1,0)$, $(1,0)$ に両端を固定した、長さ $2\sinh 1$ の一様な鎖が重力のもとでつり合っている状態を、次の変分問題で考える。

区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=2\sinh 1$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で、鎖の位置エネルギー（線密度と重力加速度の積を $1$ としたもの）
$$U[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$
の最小値を求めよ。ただし、$U$ を最小にする関数がこの範囲に存在することは認めてよい。

$xy$ 平面において、区間 $[-1,1]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(-1)=0$, $y(1)=0$ と長さの制約
$${\int }_{-1}^1\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$$
を満たすものの全体を考える。この範囲で
$$S[y]={\int }_{-1}^{1}y(x)dx$$
の最大値を求めよ。