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微分方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分方程式

実数全体で定義された関数 $y (x)$ が、微分方程式 $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 2 e^{3 x}$ と初期条件 $y (0) = 0$ , $y^{'} (0) = 0$ を満たすとする。 $y (x)$ を求めよ。

この問題で使うもの

定数係数 2 階線形（非斉次）（説明と入口の問題）
定数係数 2 階線形（斉次）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「定数係数 2 階線形（非斉次）」の技能を使う。一般解は「斉次方程式の一般解」＋「特殊解 1 つ」で表せる。まず斉次方程式 $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ を特性方程式で解こう。

ヒント 2

右辺が $2 e^{3 x}$ で、 $3$ は特性方程式 $λ^{2} - 3 λ + 2 = 0$ の解ではないので、特殊解を $y_{p} = A e^{3 x}$ とおいて代入し、 $A$ を決める（未定係数法）。

ヒント 3

斉次方程式の一般解は $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$ 、特殊解は $y_{p} = e^{3 x}$ となる。あとは $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} + e^{3 x}$ に $y (0) = 0$ , $y^{'} (0) = 0$ を当てはめて $C_{1}$ , $C_{2}$ の連立方程式を解く。

答えと解説

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e^{x} - 2 e^{2 x} + e^{3 x}

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解説を読む

方針：非斉次方程式の一般解は「斉次方程式の一般解」と「非斉次方程式の特殊解 1 つ」の和になる。斉次方程式の一般解を特性方程式から求め、特殊解を未定係数法で求め、最後に初期条件で定数を決める。

1. 斉次方程式の一般解

斉次方程式 $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ の特性方程式は
$λ^{2} - 3 λ + 2 = 0 ⟺ (λ - 1) (λ - 2) = 0$
で、異なる 2 つの実数解 $λ = 1, 2$ をもつ。よって斉次方程式の一般解は
$y_{h} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} (C_{1}, C_{2} は定数)$

2. 未定係数法による特殊解

右辺は $2 e^{3 x}$ で、 $3$ は特性方程式の解ではないので、特殊解を $y_{p} = A e^{3 x}$ （ $A$ は定数）とおく。
$y_{p}^{'} = 3 A e^{3 x}, y_{p}^{''} = 9 A e^{3 x}$
これを方程式に代入すると
$9 A e^{3 x} - 3 \cdot 3 A e^{3 x} + 2 A e^{3 x} = 2 A e^{3 x} = 2 e^{3 x}$
よって $A = 1$ で、 $y_{p} = e^{3 x}$ 。

3. 非斉次方程式の一般解
$y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} + e^{3 x}$
$y^{'} = C_{1} e^{x} + 2 C_{2} e^{2 x} + 3 e^{3 x}$

4. 初期条件から定数を決める

$y (0) = 0$ より $C_{1} + C_{2} + 1 = 0$ 、すなわち $C_{1} + C_{2} = - 1$ 。

$y^{'} (0) = 0$ より $C_{1} + 2 C_{2} + 3 = 0$ 、すなわち $C_{1} + 2 C_{2} = - 3$ 。

2 式の差をとると $C_{2} = - 2$ 、したがって $C_{1} = 1$ 。

5. 答え
$y (x) = e^{x} - 2 e^{2 x} + e^{3 x}$
（検算： $y^{''} = e^{x} - 8 e^{2 x} + 9 e^{3 x}$ , $y^{'} = e^{x} - 4 e^{2 x} + 3 e^{3 x}$ より $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = (1 - 3 + 2) e^{x} + (- 8 + 12 - 4) e^{2 x} + (9 - 9 + 2) e^{3 x} = 2 e^{3 x}$ となり、 $y (0) = 1 - 2 + 1 = 0$ , $y^{'} (0) = 1 - 4 + 3 = 0$ も満たす。）

別解

同次方程式の特性方程式は $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ で、 $r = 1, 2$ なので、一般解は $C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x}$ である。
特解を $y_{p} = A e^{3 x}$ とおくと、 $(9 - 9 + 2) A e^{3 x} = 2 A e^{3 x} = 2 e^{3 x}$ より $A = 1$ 。
よって $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} + e^{3 x}$ 。
初期条件より、 $y (0) = C_{1} + C_{2} + 1 = 0$ 、 $y^{'} (0) = C_{1} + 2 C_{2} + 3 = 0$ 。
辺々引くと $C_{2} + 2 = 0$ なので $C_{2} = - 2$ 、 $C_{1} = 1$ 。
ゆえに $y = e^{x} - 2 e^{2 x} + e^{3 x}$ 。
検算： $y (0) = 1 - 2 + 1 = 0$ 。 $y^{'} = e^{x} - 4 e^{2 x} + 3 e^{3 x}$ より $y^{'} (0) = 1 - 4 + 3 = 0$ 。 $y^{''} = e^{x} - 8 e^{2 x} + 9 e^{3 x}$ 。
$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y$ について、 $e^{x}$ の係数は $1 - 3 + 2 = 0$ 、 $e^{2 x}$ の係数は $- 8 + 12 - 4 = 0$ 、 $e^{3 x}$ の係数は $9 - 9 + 2 = 2$ 。よって $2 e^{3 x}$ となり成立する。

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