微分方程式の問題

非斉次方程式の一般解は、「斉次方程式の一般解」と「非斉次方程式の特殊解 1 つ」の和で表されます。この方針で解きます。

1. 斉次方程式の一般解

斉次方程式 $y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$ の特性方程式は
$${\lambda }^2-5\lambda +6=0$$
です。左辺を因数分解すると $(\lambda -2)(\lambda -3)=0$ となるので、$\lambda =2,3$ です。これらは異なる 2 つの実数解なので、斉次方程式の一般解は
$$y_h=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}(C_1,C_2\text{ は定数})$$
です。

2. 未定係数法による特殊解

右辺は $2e^x$ です。$e^x$ の指数の係数 $1$ は特性方程式の解 $2,3$ のどちらとも異なります。そこで、特殊解を $y_p=A{e}^x$（$A$ は定数）と予想します。

$y_p^{\prime }=A{e}^x$, $y_p^{\prime \prime }=A{e}^x$ を方程式に代入すると
$$A{e}^x-5A{e}^x+6A{e}^x=2A{e}^x$$
となります。これが $2e^x$ に等しいので $2A=2$、つまり $A=1$ です。よって特殊解は $y_p=e^x$ です。

3. 非斉次方程式の一般解

$$y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}+e^x$$

4. 初期条件で定数を決める

$y^{\prime }=2C_1{e}^{2x}+3C_2{e}^{3x}+e^x$ です。

• $y(0)=C_1+C_2+1=0$ より $C_1+C_2=-1$
• $y^{\prime }(0)=2C_1+3C_2+1=0$ より $2C_1+3C_2=-1$

2 つ目の式から 1 つ目の式の 2 倍を引くと $C_2=1$ となり、$C_1=-2$ が得られます。

したがって
$$y(x)=e^x-2e^{2x}+e^{3x}$$
です。この式は $e^x(e^x-1{)}^2$ とまとめることもできます。

検算：$y(0)=1-2+1=0$、$y^{\prime }(0)=1-4+3=0$ で、初期条件を満たします。また、$e^{2x}$ と $e^{3x}$ の項は斉次方程式の解なので左辺に代入すると $0$ になり、$e^x$ の項からは $2e^x$ が出るので、方程式も満たします。

同次方程式 $r^2-5r+6=0$ より $r=2,3$。よって一般解の同次部分は $C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}$。
特解を $y_p=A{e}^x$ とおくと、$A(1-5+6)e^x=2A{e}^x=2e^x$ より $A=1$。
よって $y=e^x+C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}$。
初期条件: $y(0)=1+C_1+C_2=0$、$y^{\prime }(0)=1+2C_1+3C_2=0$。
第1式から $C_1+C_2=-1$。第2式から $2C_1+3C_2=-1$。第2式から第1式の2倍を引くと $C_2=1$、よって $C_1=-2$。
ゆえに $y=e^x-2e^{2x}+e^{3x}$。
検算: $y(0)=1-2+1=0$。$y^{\prime }=e^x-4e^{2x}+3e^{3x}$ より $y^{\prime }(0)=1-4+3=0$。$y^{\prime \prime }=e^x-8e^{2x}+9e^{3x}$。$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y$ の $e^x$ の係数は $1-5+6=2$、$e^{2x}$ の係数は $-8+20-12=0$、$e^{3x}$ の係数は $9-15+6=0$。よって $2e^x$ となり、条件を満たす。