微分方程式の問題

手順 1：変数を分離する。

$y>0$ なので、両辺に $y$ を掛けて
$$y\frac{dy}{dx}=x$$
とする。左辺は $y$ だけ、右辺は $x$ だけの式になった。これを形式的に $ydy=xdx$ と書く。

手順 2：両辺を積分する。

両辺を $x$ で積分すると、左辺は置換積分により $\int y\frac{dy}{dx}dx=\int ydy$ となるので、
$$\int ydy=\int xdx$$
$$\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C(C\text{ は積分定数})$$
となる。両辺を 2 倍して $y^2=x^2+2C$ である。

手順 3：初期条件で定数を決める。

$x=0$ のとき $y=2$ なので、$4=0+2C$ より $2C=4$ となる。よって
$$y^2=x^2+4.$$

手順 4：$y$ について解く。

$y>0$ なので正の平方根をとり、
$$y=\sqrt{x^2+4}$$
となる。$x^2+4>0$ なので、この式はすべての実数 $x$ で定義されていて $y>0$ を満たす。

確認： $y^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}=\frac{x}{y}$ であり、$y(0)=\sqrt{4}=2$ である。

したがって、答えは $y(x)=\sqrt{x^2+4}$ である。

$y{y}^{\prime }=x$ より $\frac{d}{dx}\left(\frac{y^2}{2}\right)=x$。積分して $y^2=x^2+C$。初期条件 $y(0)=2$ より $C=4$ なので $y^2=x^2+4$。$y>0$ なので $y=\sqrt{x^2+4}$。

一意性の確認: $y>0$ で $f(x,y)=x/y$ は $y$ について局所リプシッツなので、初期値問題の解は一意。$y=\sqrt{x^2+4}$ は全実数で定義され、常に $y\ge 2>0$。

検算: $y^{\prime }=x/\sqrt{x^2+4}=x/y$ であり、$y(0)=\sqrt{4}=2$ で条件を満たす。