完全微分方程式とベルヌーイ型

完全微分形かを判定して解き、ベルヌーイ型を 1 階線形に直して解ける

前提

1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）

説明

この技能では、1 階微分方程式のうち、変数分離形でも線形でもないが、よく出てくる 2 つの型を解けるようになります。1 つ目は完全微分方程式です。 $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ の左辺が、ある関数 $F (x, y)$ の全微分になっている形で、解は $F (x, y) = C$ と書けます。2 つ目はベルヌーイ型 $y^{'} + p (x) y = q (x) y^{n}$ です。 $z = y^{1 - n}$ と置き換えると 1 階線形に直せるので、積分因子で解けます。

なぜそうしてよいのか

【完全微分方程式】解が $F (x, y) = C$ （ $C$ は定数）で表されているとします。 $y$ を $x$ の関数とみてこれを $x$ で微分すると、合成関数の微分により $F_{x} + F_{y} y^{'} = 0$ 、つまり $F_{x} d x + F_{y} d y = 0$ になります。逆に、方程式 $P d x + Q d y = 0$ の $P, Q$ が $P = F_{x}, Q = F_{y}$ と書けるなら、解は $F (x, y) = C$ です。このような $F$ が存在するための条件を考えます。 $F$ の 2 階偏導関数が連続なら $F_{x y} = F_{y x}$ なので、 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ が必要です。

逆に、長方形のような穴のない領域で $P_{y} = Q_{x}$ （ $P, Q$ とその偏導関数は連続）なら、 $F$ を実際に作れます。 $F = \int P d x + g (y)$ とおくと、 $F_{y} = Q$ となるための条件は $g^{'} (y) = Q - \frac{\partial}{\partial y} \int P d x$ です。右辺を $x$ で偏微分すると $Q_{x} - P_{y} = 0$ になるので、右辺は $y$ だけの関数です。したがって $g$ を求めることができます。これが判定条件 $P_{y} = Q_{x}$ の意味です。

【ベルヌーイ型】 $y^{'} + p (x) y = q (x) y^{n}$ （ $n \neq = 0, 1$ ）の両辺を $y^{n}$ で割ります（ $y \neq = 0$ の範囲）。すると $y^{- n} y^{'} + p y^{1 - n} = q$ となります。 $z = y^{1 - n}$ とおくと、合成関数の微分により $z^{'} = (1 - n) y^{- n} y^{'}$ なので、 $y^{- n} y^{'} = \frac{z ^{'}}{1 - n}$ です。代入して $1 - n$ を掛けると $z^{'} + (1 - n) p (x) z = (1 - n) q (x)$ となり、 $z$ についての 1 階線形微分方程式になります。

手順

【完全形・判定】方程式を $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ の形に整理し、 $\frac{\partial P}{\partial y}$ と $\frac{\partial Q}{\partial x}$ を計算する。両者が等しければ完全微分方程式である。
【完全形・F を作る】 $P$ を $x$ で積分して $F = \int P d x + g (y)$ とおく（ $y$ は定数とみる）。 $F_{y} = Q$ から $g^{'} (y)$ を求めて積分し、 $g (y)$ を決める。
【完全形・解】一般解を $F (x, y) = C$ （ $C$ は任意定数）と書く。初期条件があれば代入して $C$ を決める。
【ベルヌーイ型・変換】 $y^{'} + p (x) y = q (x) y^{n}$ （ $n \neq = 0, 1$ ）の両辺を $y^{n}$ で割り、 $z = y^{1 - n}$ とおいて $z^{'} + (1 - n) p (x) z = (1 - n) q (x)$ に直す。
【ベルヌーイ型・線形を解く】積分因子 $e^{\int (1 - n) p d x}$ を掛けて $z$ を求める。
【ベルヌーイ型・戻す】 $y^{1 - n} = z$ から $y$ を求め、初期条件で定数を決める。 $n > 0$ のときは、 $y^{n}$ で割る前に除いた $y = 0$ も解になることに注意する。

例題

$x > 0$ において、微分方程式 $y^{'} + \frac{y}{x} = x y^{2}$ の、初期条件 $y (1) = 1$ を満たす解 $y (x)$ を求めよ。

例題の解答

これは $p (x) = \frac{1}{x}, q (x) = x, n = 2$ のベルヌーイ型である。

【手順 4：変換】初期条件より $y (1) = 1 \neq = 0$ なので、 $x = 1$ の近くでは $y \neq = 0$ である。両辺を $y^{2}$ で割ると $y^{- 2} y^{'} + \frac{1}{x} y^{- 1} = x$ となる。 $z = y^{1 - 2} = y^{- 1}$ とおくと $z^{'} = - y^{- 2} y^{'}$ なので、 $- z^{'} + \frac{z}{x} = x$ 、すなわち $z^{'} - \frac{1}{x} z = - x$ を得る。初期条件は $z (1) = \frac{1}{y ( 1 )} = 1$ である。

【手順 5：線形を解く】積分因子は $e^{\int (- 1/ x) d x} = e^{- l o g x} = \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）である。両辺に掛けると $(\frac{z}{x})^{'} = \frac{z ^{'}}{x} - \frac{z}{x ^{2}} = - 1$ となる。積分して $\frac{z}{x} = - x + C$ 、よって $z = - x^{2} + C x$ 。

【手順 6：戻す】 $z (1) = - 1 + C = 1$ より $C = 2$ なので、 $z = 2 x - x^{2}$ 。したがって $y = \frac{1}{z} = \frac{1}{2 x - x ^{2}}$ である（ $z \neq = 0$ となる $0 < x < 2$ の範囲で定義される）。

検算： $y^{'} = - \frac{2 - 2 x}{( 2 x - x ^{2} ) ^{2}}$ である。また $\frac{y}{x} = \frac{1}{x ( 2 x - x ^{2} )} = \frac{2 - x}{( 2 x - x ^{2} ) ^{2}}$ である。よって $y^{'} + \frac{y}{x} = \frac{- 2 + 2 x + 2 - x}{( 2 x - x ^{2} ) ^{2}} = \frac{x}{( 2 x - x ^{2} ) ^{2}} = x y^{2}$ となり、正しい。

答え: $\frac{1}{2 x - x ^{2}}$

よくある誤り

判定で $\frac{\partial P}{\partial x}$ と $\frac{\partial Q}{\partial y}$ を比べてしまう誤り。正しくは、 $d x$ の係数 $P$ を $y$ で、 $d y$ の係数 $Q$ を $x$ で偏微分して $P_{y} = Q_{x}$ を確かめる。たとえば $(2 x y + 1) d x + (x^{2} + 2 y) d y = 0$ では $P_{y} = 2 x = Q_{x}$ となる。
$\int P d x$ と $\int Q d y$ を単純に足して $F$ としてしまう誤り。たとえば上の例で $(x^{2} y + x) + (x^{2} y + y^{2})$ とすると、 $x^{2} y$ を二重に数えてしまう。正しくは $F = x^{2} y + x + g (y)$ とおき、 $F_{y} = x^{2} + g^{'} (y) = x^{2} + 2 y$ から $g = y^{2}$ を求める。こうして $x^{2} y + x + y^{2} = C$ が得られる。
ベルヌーイ型の置換で係数 $1 - n$ を落とし、 $z^{'} + p z = q$ としてしまう誤り。正しくは $z = y^{1 - n}$ のとき $z^{'} = (1 - n) y^{- n} y^{'}$ なので、 $z^{'} + (1 - n) p z = (1 - n) q$ となる。たとえば $n = 2$ なら $z^{'} - p z = - q$ である。
$y^{n}$ で割ったために、 $y = 0$ という解を見落とす誤り。 $n > 0$ のとき、 $y \equiv 0$ は $y^{'} + p y = q y^{n}$ を満たす。初期条件がない一般解を答えるときは、 $y = 0$ も解として書き添える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

完全微分方程式とベルヌーイ型

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