微分方程式の問題

$M$ を正の実数とし、$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を連続関数で、すべての実数 $t$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすものとする。$y:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、初期値問題
$$y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R}),y(0)=y_0$$
を満たすとする（$y_0$ は実数の定数）。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して
$$|y(t)|\le |y_0|e^{-2t}+\frac{M}{2}$$
が成り立つことを証明せよ。

$n$ を正の整数とし、$A$ を $A^2=-E$（$E$ は $n$ 次単位行列）を満たす $n$ 次実正方行列とする（このような $A$ が存在するのは $n$ が偶数のときに限られる）。$\mathbf{x}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ は微分可能な関数で、すべての実数 $t$ に対して
$${\mathbf{x}}^{\prime }(t)=A\mathbf{x}(t)$$
を満たすとする。このとき、すべての実数 $t$ に対して
$$\mathbf{x}(t)=(\cos t)\mathbf{x}(0)+(\sin t)A\mathbf{x}(0)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、微分方程式の解の存在と一意性の定理は用いずに示すこと（平均値の定理、積の微分公式は用いてよい）。

$[0,\infty )$ 上の関数 $h$ が指数位数であるとは、定数 $K>0$ と実数 $\alpha$ があって、すべての $t\ge 0$ で $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ が成り立つことをいう（このとき $\beta \ge \alpha$ を満たす任意の実数 $\beta$ についても $|h(t)|\le K{e}^{\beta t}$ が成り立つ）。$h$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[h](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}h(t)dt$（$s$ は実数）、$[0,\infty )$ 上の関数 $g,h$ の畳み込みを $(g\ast h)(t)={\int }_0^{t}g(t-\tau )h(\tau )d\tau$ と定める。

$M$ を正の実数とし、$f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は連続で、すべての $t\ge 0$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすとする。$y:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は 2 回微分可能（$t=0$ では右側微分）で $y^{\prime \prime }$ が連続であり、$y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれも指数位数で、
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+y(t)=f(t)(t\ge 0),y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$$
を満たすとする。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して $|y(t)|\le M$ が成り立つことを、ラプラス変換を用いて証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい（$s$ は実数とする）。
- $(\mathrm{a})$ $h$ が連続で、ある $K>0$ と実数 $\alpha$ について $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ $(t\ge 0)$ のとき、$s>\alpha$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h](s)$ を定める積分は収束する。また、$\mathcal{L}$ は線形である（$\mathcal{L}[h_1],\mathcal{L}[h_2]$ がともに存在する $s$ で $\mathcal{L}[c_1{h}_1+c_2{h}_2]=c_1\mathcal{L}[h_1]+c_2\mathcal{L}[h_2]$）。
- $(\mathrm{b})$ $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ が連続で、ある共通の $K>0$ と実数 $\alpha$ についていずれも $K{e}^{\alpha t}$ で抑えられるとき、$s>\alpha$ で $\mathcal{L}[y^{\prime }]=s\mathcal{L}[y]-y(0)$、$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^2\mathcal{L}[y]-sy(0)-y^{\prime }(0)$。
- $(\mathrm{c})$（畳み込み定理）$g,h$ が連続で指数位数ならば、$g\ast h$ も連続で指数位数であり、ある実数 $s_1$ があって $s>s_1$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[g\ast h](s)=\mathcal{L}[g](s)\mathcal{L}[h](s)$。
- $(\mathrm{d})$（ラプラス変換の一意性）連続で指数位数の $h_1,h_2$ について、ある実数 $s_0$ があって $s>s_0$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h_1](s)=\mathcal{L}[h_2](s)$ ならば、$[0,\infty )$ 上で $h_1=h_2$。

区間 $-1<x<1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }=\frac{1+y^2}{1+x^2}$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

関数 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ をもつとは、すべての実数 $t$ に対して $h(t+2\pi )=h(t)$ が成り立つことをいう。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を周期 $2\pi$ をもつ連続関数とする。微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R})$$
の解であって、$\mathbb{R}$ 上で 2 回微分可能かつ周期 $2\pi$ をもつ関数 $y$ が、ちょうど 1 つ存在することを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の一般定理は用いずに示すこと。広義積分の基本的な性質（絶対収束すれば収束する、など）と微分積分学の基本定理は用いてよい。