微分方程式の問題

$M(x,y)=2xy+y^2+1$、$N(x,y)=x^2+2xy$ とおくと、方程式は $Mdx+Ndy=0$ と書けます。

完全性の確認
$$\frac{\partial M}{\partial y}=2x+2y,\frac{\partial N}{\partial x}=2x+2y$$
となり両者が一致するので、この方程式は完全微分方程式です。

ポテンシャル関数 $F(x,y)$ を求める
$F_x=M$ を $x$ で積分します。
$$F(x,y)=\int (2xy+y^2+1)dx=x^{2}y+x{y}^2+x+g(y)$$
これを $y$ で偏微分すると $F_y=x^2+2xy+g^{\prime }(y)$ です。$F_y=N=x^2+2xy$ より $g^{\prime }(y)=0$ となるので、$g$ は定数としてよく、
$$F(x,y)=x^{2}y+x{y}^2+x$$
となります。

解の満たす関係式
解 $y(x)$ に沿って
$$\frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x+F_y{y}^{\prime }=M+N{y}^{\prime }=0$$
なので、$F(x,y(x))$ は一定です。初期条件 $y(1)=1$ から $F(1,1)=1+1+1=3$ なので、
$$x^{2}y+x{y}^2+x=3$$
が成り立ちます。

$x=2$ を代入する
$$4y+2y^2+2=3⟺2y^2+4y-1=0$$
これを解くと
$$y=\frac{-4\pm \sqrt{16+8}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{6}}{2}$$
となります。条件 $x+2y>0$ に $x=2$ を入れると $y>-1$ です。
- $\frac{-2-\sqrt{6}}{2}\approx -2.22$ は $y>-1$ を満たさないので不適です。
- $\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\approx 0.22$ は条件を満たします。

解の存在の確認
実際に $x{y}^2+x^{2}y+x-3=0$ を $y$ について解き、$x+2y>0$ を満たす方をとると
$$y=\frac{-x^2+\sqrt{x^4-4x^2+12x}}{2x}$$
です。$x>0$ では $x^3-4x+12>0$ なので根号の中は $x(x^3-4x+12)>0$ です。また $y(1)=\frac{-1+3}{2}=1$ を満たし、$x+2y=\frac{\sqrt{x^4-4x^2+12x}}{x}>0$ も成り立つので、題意の解は確かに存在します。

よって
$$y(2)=\frac{\sqrt{6}-2}{2}$$

$M=2xy+y^2+1,N=x^2+2xy$ とおくと、$M_y=2x+2y=N_x$ なので完全微分形である。

$F_x=M$ を $x$ で積分すると $F=x^{2}y+x{y}^2+x+g(y)$。これを $y$ で微分すると $F_y=x^2+2xy+g^{\prime }(y)$ で、$N$ と比べて $g^{\prime }=0$ となる。よって一般解は $x^{2}y+x{y}^2+x=C$。

初期条件 $y(1)=1$ より $C=1+1+1=3$。

$x=2$ では $4y+2y^2+2=3$ より $2y^2+4y-1=0$。これを解いて $y=\frac{-2\pm \sqrt{6}}{2}$。

解の枝の確認: $x{y}^2+x^{2}y+x-3=0$ を $y$ について解くと $y=\frac{-x^2\pm \sqrt{x^4-4x^2+12x}}{2x}$。ここで $x+2y=\pm \sqrt{D}/x$（$D=x^4-4x^2+12x$）である。$D>0$ は $1\le x\le 2$ で成り立つ（$D=x(x^3-4x+12)$ で、$x^3-4x+12>0$）。条件 $x+2y>0$ より $+$ の枝が選ばれる。この枝は $x=1$ で $y=\frac{-1+3}{2}=1$ となり初期条件に合う。

$x=2$ では $D=24$ なので $y(2)=\frac{-4+2\sqrt{6}}{4}=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$。

検算: $y=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$ のとき $2y^2+4y=2\cdot \frac{10-4\sqrt{6}}{4}+2(-2+\sqrt{6})=5-2\sqrt{6}-4+2\sqrt{6}=1$ となり、$2y^2+4y-1=0$ を満たす。また $2+2y=\sqrt{6}>0$ で条件も満たす。