微分方程式の問題

体積 はじめの食塩水は $100\text{L}$ で、毎分 $3\text{L}$ 入り $2\text{L}$ 出る（溶解による体積変化は無視する）ので、時刻 $t$ における食塩水の体積は $V(t)=100+t(\text{L})$ である。満杯になるのは $100+t=200$、すなわち $t=100$ のときである。

微分方程式を立てる 食塩の流入量は毎分 $3\times 0.2=0.6\text{kg}$。タンク内の濃度は $\frac{x}{100+t}\text{kg/L}$ なので、流出量は毎分 $\frac{2x}{100+t}\text{kg}$。食塩の量の変化率は「流入量 − 流出量」なので
$$x^{\prime }=0.6-\frac{2x}{100+t},x(0)=10.$$
すなわち 1 階線形微分方程式
$$x^{\prime }+\frac{2}{100+t}x=0.6(1)$$
である。

積分因子 $\exp \left(\int \frac{2}{100+t}dt\right)=(100+t{)}^2$ を $(1)$ の両辺に掛けると、左辺は積の微分になり
$$\frac{d}{dt}[(100+t{)}^{2}x]=0.6(100+t{)}^2.$$
両辺を積分して
$$(100+t{)}^{2}x=0.2(100+t{)}^3+C(C\text{ は定数}).$$

初期条件 $t=0$ で $x=10$ より $10^4\cdot 10=0.2\cdot 10^6+C$、よって $C=10^5-2\times 10^5=-10^5$。したがって
$$x(t)=0.2(100+t)-\frac{10^5}{(100+t{)}^2}.$$
（確認：$x(0)=20-10=10$ で初期条件を満たす。）

満杯時 $t=100$ を代入すると
$$x(100)=0.2\times 200-\frac{10^5}{200^2}=40-\frac{100000}{40000}=40-\frac{5}{2}=\frac{75}{2}.$$

よって、満杯になったときの食塩の量は $\frac{75}{2}\text{kg}$（$37.5\text{kg}$）である。

時刻 $t$ の体積は $V(t)=100+3t-2t=100+t$ (L)。満杯 $V=200$ となるのは $t=100$ 分。

食塩の量 $x(t)$ について、流入は $0.2\times 3=0.6$ kg/分、流出は濃度 $x/(100+t)$ に毎分 2 L を掛けた $2x/(100+t)$ kg/分。よって
$$\frac{dx}{dt}=0.6-\frac{2x}{100+t},x(0)=10.$$

積分因子 $(100+t{)}^2$ を用いる。
$$\frac{d}{dt}\left[(100+t{)}^{2}x\right]=0.6(100+t{)}^2.$$
積分すると
$$(100+t{)}^{2}x=0.2(100+t{)}^3+C.$$
$t=0$ で $10^4\cdot 10=0.2\cdot 10^6+C$ より $C=10^5-2\times 10^5=-10^5$。

したがって
$$x(t)=0.2(100+t)-\frac{10^5}{(100+t{)}^2}.$$

$t=100$ では
$$x=0.2\cdot 200-\frac{10^5}{40000}=40-2.5=37.5\text{kg}.$$

検算: $t=0$ で $x=20-10=10$ となり初期条件を満たす。微分すると $x^{\prime }=0.2+2\cdot 10^5/(100+t{)}^3$。一方 $0.6-2x/(100+t)=0.6-0.4+2\cdot 10^5/(100+t{)}^3=0.2+2\cdot 10^5/(100+t{)}^3$ で一致する。