微分方程式の問題

斉次方程式 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=0$ の特性方程式は ${\lambda }^2-2\lambda +1=(\lambda -1{)}^2=0$ で、重解 $\lambda =1$ をもつ。よって基本解は $y_1=e^x$, $y_2=x{e}^x$ である。

定数変化法 ロンスキアンは
$$W=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2=e^x(e^x+x{e}^x)-e^x\cdot x{e}^x=e^{2x}.$$
$f(x)=\frac{e^x}{x^2}$ とすると、特殊解は
$$y_p=-y_1\int \frac{y_{2}f}{W}dx+y_2\int \frac{y_{1}f}{W}dx$$
で与えられる。ここで
$$\frac{y_{2}f}{W}=\frac{x{e}^x\cdot e^x/x^2}{e^{2x}}=\frac{1}{x},\frac{y_{1}f}{W}=\frac{e^x\cdot e^x/x^2}{e^{2x}}=\frac{1}{x^2}$$
であり、$x>0$ より $\int \frac{1}{x}dx=\log x$、$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}$ をとって
$$y_p=-e^x\log x+x{e}^x\cdot \left(-\frac{1}{x}\right)=-e^x\log x-e^x.$$
$-e^x$ は斉次解に含まれるので、一般解は
$$y=e^x\left(A+Bx-\log x\right)(A,B\text{ は任意定数})$$
と書ける。

初期条件 $y^{\prime }=e^x\left(A+Bx-\log x\right)+e^x\left(B-\frac{1}{x}\right)$ である。
- $y(1)=e(A+B)=0$ より $A+B=0$
- $y^{\prime }(1)=e(A+B)+e(B-1)=0$ より $B=1$

よって $B=1$, $A=-1$ で、
$$y(x)=e^x\left(x-1-\log x\right).$$

（確認）$y=e^{x}u$ とおくと $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=e^x{u}^{\prime \prime }$ となる。$u=x-1-\log x$ のとき $u^{\prime }=1-\frac{1}{x}$, $u^{\prime \prime }=\frac{1}{x^2}$ なので方程式を満たし、$u(1)=0$, $u^{\prime }(1)=0$ から $y(1)=0$, $y^{\prime }(1)=e(u(1)+u^{\prime }(1))=0$ も成り立つ。

同次方程式 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=0$ の特性方程式は $(\lambda -1{)}^2=0$ で、一般解は $(c_{1}x+c_2)e^x$。そこで $y=e^{x}v(x)$ とおくと $y^{\prime }=e^x(v+v^{\prime })$、$y^{\prime \prime }=e^x(v+2v^{\prime }+v^{\prime \prime })$ なので
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=e^x\{(v+2v^{\prime }+v^{\prime \prime })-2(v+v^{\prime })+v\}=e^x{v}^{\prime \prime }.$$
よって $e^x{v}^{\prime \prime }=\frac{e^x}{x^2}$ より $v^{\prime \prime }=\frac{1}{x^2}$ ($x>0$)。積分して $v^{\prime }=-\frac{1}{x}+c_1$、$v=-\log x+c_{1}x+c_2$。
初期条件: $y(1)=ev(1)=0$ より $v(1)=c_1+c_2=0$。$y^{\prime }(1)=e\{v(1)+v^{\prime }(1)\}=0$ より $v^{\prime }(1)=-1+c_1=0$ なので $c_1=1,c_2=-1$。
$$y(x)=e^x(x-1-\log x).$$
検算: $v=x-1-\log x$、$v(1)=0$、$v^{\prime }=1-\frac{1}{x}$ で $v^{\prime }(1)=0$、$v^{\prime \prime }=\frac{1}{x^2}$ で方程式を満たす。