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微分方程式の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学微分方程式

$x \geq 0$ で 2 回微分可能な関数 $y (x)$ が、微分方程式
$y^{''} - y^{'} - 2 y = 6 e^{- x} - 4 (x \geq 0)$
と初期条件 $y (0) = 1$ を満たし、さらに $x \geq 0$ で有界であるとする。このとき、 $x \geq 0$ における $y (x)$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

定数係数 2 階線形（斉次）（説明と入口の問題）
定数係数 2 階線形（非斉次）（説明と入口の問題）
増減表と極値（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（65 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず特性方程式を解いて斉次方程式の一般解を求めます。次に、非斉次項 $6 e^{- x}$ と $- 4$ のそれぞれに対する特殊解を求めて足し合わせます。

ヒント 2

$e^{- x}$ は斉次方程式の解なので、特殊解は $A x e^{- x}$ の形でおきます。また、有界という条件から $e^{2 x}$ の係数が決まります。

ヒント 3

一般解は $y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + 2$ です。条件から $C_{1} = 0$ 、 $C_{2} = - 1$ となるので、あとは $y^{'}$ の符号を調べて最小値を求めます。

答えと解説

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2 - \frac{2}{e}

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解説を読む

斉次方程式の一般解

特性方程式は $λ^{2} - λ - 2 = 0$ 、すなわち $(λ - 2) (λ + 1) = 0$ なので $λ = 2, - 1$ である。よって斉次方程式の一般解は $C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x}$ となる。

特殊解

非斉次項は $6 e^{- x}$ と $- 4$ の和なので、それぞれに対する特殊解を求めて足し合わせる（方程式が線形なので重ね合わせができる）。

(i) $6 e^{- x}$ について： $- 1$ は特性方程式の単根なので、 $y_{1} = A x e^{- x}$ とおく。
$y_{1}^{'} = A (1 - x) e^{- x}, y_{1}^{''} = A (x - 2) e^{- x}$
より
$y_{1}^{''} - y_{1}^{'} - 2 y_{1} = A {(x - 2) - (1 - x) - 2 x} e^{- x} = - 3 A e^{- x} .$
これが $6 e^{- x}$ に等しいので $A = - 2$ となり、 $y_{1} = - 2 x e^{- x}$ である。

(ii) $- 4$ について： $y_{2} = C$ （定数）とおくと $- 2 C = - 4$ より $C = 2$ である。

よって一般解は
$y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + 2.$

条件の適用

$x \to \infty$ のとき $e^{- x} \to 0$ かつ $x e^{- x} \to 0$ であるが、 $e^{2 x} \to \infty$ である。したがって $y$ が $x \geq 0$ で有界であるためには $C_{1} = 0$ でなければならない。

さらに $y (0) = C_{2} + 2 = 1$ より $C_{2} = - 1$ である。よって
$y (x) = 2 - (1 + 2 x) e^{- x} .$

検算

$y^{'} = - 2 e^{- x} + (1 + 2 x) e^{- x} = (2 x - 1) e^{- x}$ 、 $y^{''} = 2 e^{- x} - (2 x - 1) e^{- x} = (3 - 2 x) e^{- x}$ である。これらを代入すると
$y^{''} - y^{'} - 2 y = (3 - 2 x - 2 x + 1) e^{- x} - 4 + 2 (1 + 2 x) e^{- x} = 6 e^{- x} - 4$
となり、方程式を満たす。

最小値

$y^{'} (x) = (2 x - 1) e^{- x}$ であり、 $e^{- x} > 0$ なので、 $y^{'}$ の符号は $2 x - 1$ の符号と一致する。
- $0 \leq x < \frac{1}{2}$ では $y^{'} < 0$ なので $y$ は減少する。
- $x > \frac{1}{2}$ では $y^{'} > 0$ なので $y$ は増加する。

よって $y$ は $x = \frac{1}{2}$ で最小となり、最小値は
$y (\frac{1}{2}) = 2 - 2 e^{- 1/2} = 2 - \frac{2}{e}$
である。

別解

同次方程式の特性方程式 $r^{2} - r - 2 = 0$ より $r = 2, - 1$ なので、同次解は $A e^{2 x} + B e^{- x}$ 。

特殊解を求める。定数項 $- 4$ に対しては $y = 2$ が解（ $- 2 y = - 4$ ）。 $6 e^{- x}$ に対しては $e^{- x}$ が同次解なので共鳴し、 $y = c x e^{- x}$ とおく。 $y^{'} = c e^{- x} (1 - x)$ 、 $y^{''} = c e^{- x} (x - 2)$ より $y^{''} - y^{'} - 2 y = c e^{- x} [(x - 2) - (1 - x) - 2 x] = - 3 c e^{- x}$ 。 $- 3 c = 6$ より $c = - 2$ 。

よって一般解は $y = 2 - 2 x e^{- x} + B e^{- x} + A e^{2 x}$ 。

$x \geq 0$ で有界なので $A = 0$ 。 $y (0) = 2 + B = 1$ より $B = - 1$ 。したがって $y = 2 - (2 x + 1) e^{- x}$ 。

$y^{'} = - 2 e^{- x} + (2 x + 1) e^{- x} = (2 x - 1) e^{- x}$ 。 $x < 1/2$ で $y^{'} < 0$ 、 $x > 1/2$ で $y^{'} > 0$ 。 $x = 1/2$ で最小になる。

最小値は $y (1/2) = 2 - 2 e^{- 1/2}$ 。

検算： $y (0) = 1$ 、 $y (1/2) \approx 0.787$ 、 $x \to \infty$ で $y \to 2$ 。最小値は $x = 1/2$ のときで矛盾しない。また $y = 2 - (2 x + 1) e^{- x}$ を元の方程式に代入すると、 $y^{'} = (2 x - 1) e^{- x}$ 、 $y^{''} = (3 - 2 x) e^{- x}$ となる。 $y^{''} - y^{'} - 2 y = (3 - 2 x) e^{- x} - (2 x - 1) e^{- x} - 4 + 2 (2 x + 1) e^{- x} = (3 - 2 x - 2 x + 1 + 4 x + 2) e^{- x} - 4 = 6 e^{- x} - 4$ となり成立する。

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