凸最適化・組合せ最適化の問題

$n\ge 2$ を整数とし、$J$ を成分がすべて $1$ の $n$ 次正方行列、$I$ を $n$ 次単位行列、$W=J-I$ とする。$x\in {\mathbb{R}}^n$ を変数とする最適化問題
$$(\mathrm{P})\text{minimize}{x}^{\top }Wx\text{subject to}{x}_i^2-1=0(i=1,\dots ,n)$$
を考え、その最適値を $p^{\ast }$ とする。$\nu \in {\mathbb{R}}^n$ に対しラグランジュ関数を
$$L(x,\nu )=x^{\top }Wx+\sum _{i=1}^n{\nu }_i(x_i^2-1)$$
と定め、双対関数を $g(\nu )={\inf }_{x\in {\mathbb{R}}^n}L(x,\nu )\in [-\infty ,\infty )$、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\nu \in {\mathbb{R}}^n}g(\nu )$ とする。

双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ が、$n$ が奇数のとき $1$、$n$ が偶数のとき $0$ であることを証明せよ。

$B=[-1,2]\times [-1,2]\subset {\mathbb{R}}^2$ とし、次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}f(x)=-x_1{x}_2\text{subject to}{x}_1+x_2=1,x=(x_1,x_2)\in B$$
等式制約 $x_1+x_2=1$ だけを乗数 $\mu \in \mathbb{R}$ で緩和し、集合制約 $x\in B$ は残したラグランジュ関数
$$L(x,\mu )=-x_1{x}_2+\mu (x_1+x_2-1)$$
から双対関数 $q(\mu )=\underset{x\in B}{\min }L(x,\mu )$ を定め、双対問題 $(\mathrm{D})$: $\underset{\mu \in \mathbb{R}}{\max }q(\mu )$ を考える。$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$、$(\mathrm{D})$ の最適値を $d^{\ast }$ とするとき、双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

$X=\{0,1{\}}^3$ 上の次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}3x_1+4x_2+5x_3\text{subject to}2x_1+3x_2+4x_3\ge 5,x=(x_1,x_2,x_3)\in X.$$
不等式制約 $2x_1+3x_2+4x_3\ge 5$ だけを乗数 $\mu \ge 0$ で緩和したラグランジュ関数
$$L(x,\mu )=3x_1+4x_2+5x_3+\mu (5-2x_1-3x_2-4x_3)$$
により双対関数 $q(\mu )={\min }_{x\in X}L(x,\mu )$ を定め、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\mu \ge 0}q(\mu )$、$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

$X=[0,2]\times [0,2]\subset {\mathbb{R}}^2$ とし、次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}-x_1{x}_2\text{subject to}{x}_1+2x_2\le 2,x=(x_1,x_2)\in X.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。制約 $x_1+2x_2\le 2$ だけを乗数 $\lambda \ge 0$ で緩和したラグランジュ双対関数
$$g(\lambda )=\underset{x\in X}{\min }\{-x_1{x}_2+\lambda (x_1+2x_2-2)\}$$
を用い、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\lambda \ge 0}g(\lambda )$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

$x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \{0,1{\}}^4$ を変数とする次の 0-1 ナップサック問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{maximize}7x_1+5x_2+4x_3+3x_4\text{subject to}5x_1+4x_2+3x_3+2x_4\le 9,x\in \{0,1{\}}^4.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。不等式制約だけに乗数 $\lambda \ge 0$ を導入してラグランジュ関数
$$L(x,\lambda )=7x_1+5x_2+4x_3+3x_4+\lambda (9-5x_1-4x_2-3x_3-2x_4)$$
を定め、双対関数を $g(\lambda )={\max }_{x\in \{0,1{\}}^4}L(x,\lambda )$、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\min }_{\lambda \ge 0}g(\lambda )$ とする。双対ギャップ $d^{\ast }-p^{\ast }$ を求めよ。