凸最適化・組合せ最適化の問題

$X=\{0,1{\}}^3$ 上の次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}3x_1+4x_2+5x_3\text{subject to}2x_1+3x_2+4x_3\ge 5,x=(x_1,x_2,x_3)\in X.$$
不等式制約 $2x_1+3x_2+4x_3\ge 5$ だけを乗数 $\mu \ge 0$ で緩和したラグランジュ関数
$$L(x,\mu )=3x_1+4x_2+5x_3+\mu (5-2x_1-3x_2-4x_3)$$
により双対関数 $q(\mu )={\min }_{x\in X}L(x,\mu )$ を定め、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\mu \ge 0}q(\mu )$、$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

$X=[0,2]\times [0,2]\subset {\mathbb{R}}^2$ とし、次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}-x_1{x}_2\text{subject to}{x}_1+2x_2\le 2,x=(x_1,x_2)\in X.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。制約 $x_1+2x_2\le 2$ だけを乗数 $\lambda \ge 0$ で緩和したラグランジュ双対関数
$$g(\lambda )=\underset{x\in X}{\min }\{-x_1{x}_2+\lambda (x_1+2x_2-2)\}$$
を用い、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\lambda \ge 0}g(\lambda )$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

$x=(x_1,\dots ,x_5)\in {\mathbb{R}}^5$ を変数とする次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える（添字は $\mathrm{mod}5$ で考え、$x_6=x_1$ とする）。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}f(x)=2\sum _{i=1}^5{x}_i{x}_{i+1}\text{subject to}{x}_i^2-1=0(i=1,\dots ,5).$$
その最適値を $p^{\ast }$ とする。等式制約に乗数 $\nu =({\nu }_1,\dots ,{\nu }_5)\in {\mathbb{R}}^5$ を対応させたラグランジュ関数
$$L(x,\nu )=f(x)+\sum _{i=1}^5{\nu }_i(x_i^2-1)$$
に対し、双対関数を $q(\nu )={\inf }_{x\in {\mathbb{R}}^5}L(x,\nu )$（値 $-\infty$ を許す）、ラグランジュ双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\nu \in {\mathbb{R}}^5}q(\nu )$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

有限集合 $X=\{0,1,3\}\subset \mathbb{R}$ 上の次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}{x}^2\text{subject to}2-x\le 0,x\in X$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。不等式制約 $2-x\le 0$ だけを乗数 $\mu \ge 0$ で緩和したラグランジュ関数を $L(x,\mu )=x^2+\mu (2-x)$ とし、双対関数を $q(\mu )={\min }_{x\in X}L(x,\mu )$、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\mu \ge 0}q(\mu )$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

$x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \{0,1{\}}^4$ を変数とする次の 0-1 ナップサック問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{maximize}7x_1+5x_2+4x_3+3x_4\text{subject to}5x_1+4x_2+3x_3+2x_4\le 9,x\in \{0,1{\}}^4.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。不等式制約だけに乗数 $\lambda \ge 0$ を導入してラグランジュ関数
$$L(x,\lambda )=7x_1+5x_2+4x_3+3x_4+\lambda (9-5x_1-4x_2-3x_3-2x_4)$$
を定め、双対関数を $g(\lambda )={\max }_{x\in \{0,1{\}}^4}L(x,\lambda )$、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\min }_{\lambda \ge 0}g(\lambda )$ とする。双対ギャップ $d^{\ast }-p^{\ast }$ を求めよ。