凸最適化・組合せ最適化の問題

$X=\{0,1{\}}^3$ 上の次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}3x_1+4x_2+5x_3\text{subject to}2x_1+3x_2+4x_3\ge 5,x=(x_1,x_2,x_3)\in X.$$
不等式制約 $2x_1+3x_2+4x_3\ge 5$ だけを乗数 $\mu \ge 0$ で緩和したラグランジュ関数
$$L(x,\mu )=3x_1+4x_2+5x_3+\mu (5-2x_1-3x_2-4x_3)$$
により双対関数 $q(\mu )={\min }_{x\in X}L(x,\mu )$ を定め、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\mu \ge 0}q(\mu )$、$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

$X=[0,2]\times [0,2]\subset {\mathbb{R}}^2$ とし、次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}-x_1{x}_2\text{subject to}{x}_1+2x_2\le 2,x=(x_1,x_2)\in X.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。制約 $x_1+2x_2\le 2$ だけを乗数 $\lambda \ge 0$ で緩和したラグランジュ双対関数
$$g(\lambda )=\underset{x\in X}{\min }\{-x_1{x}_2+\lambda (x_1+2x_2-2)\}$$
を用い、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\lambda \ge 0}g(\lambda )$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

$x=(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2$ を変数とする次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}{x}_1^2+x_2^2\text{subject to}5-x_1-2x_2\le 0$$
不等式制約に乗数 $\mu \ge 0$ を対応させたラグランジュ関数を
$$L(x,\mu )=x_1^2+x_2^2+\mu (5-x_1-2x_2)$$
とし、ラグランジュ双対関数を $q(\mu )={\min }_{x\in {\mathbb{R}}^2}L(x,\mu )$ $(\mu \ge 0)$ で定める。$q(\mu )$ を $\mu$ の式で表せ。

$B=[-1,2]\times [-1,2]\subset {\mathbb{R}}^2$ とし、次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}f(x)=-x_1{x}_2\text{subject to}{x}_1+x_2=1,x=(x_1,x_2)\in B$$
等式制約 $x_1+x_2=1$ だけを乗数 $\mu \in \mathbb{R}$ で緩和し、集合制約 $x\in B$ は残したラグランジュ関数
$$L(x,\mu )=-x_1{x}_2+\mu (x_1+x_2-1)$$
から双対関数 $q(\mu )=\underset{x\in B}{\min }L(x,\mu )$ を定め、双対問題 $(\mathrm{D})$: $\underset{\mu \in \mathbb{R}}{\max }q(\mu )$ を考える。$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$、$(\mathrm{D})$ の最適値を $d^{\ast }$ とするとき、双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

閉区間 $X=[0,4]\subset \mathbb{R}$ 上の次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}f(x)=-x^2+5x\text{subject to}g(x)=1-x\le 0,x\in X.$$
不等式制約 $g(x)\le 0$ だけに乗数 $\lambda \ge 0$ を付けてラグランジュ関数 $L(x,\lambda )=f(x)+\lambda g(x)$ を作り（$x\in X$ という制約は双対化しない）、双対関数を
$$q(\lambda )=\underset{x\in X}{\min }L(x,\lambda )(\lambda \ge 0)$$
と定める。$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$、双対問題 $\underset{\lambda \ge 0}{\max }q(\lambda )$ の最適値を $d^{\ast }$ とする。組 $(p^{\ast },d^{\ast })$ をこの順に求めよ。