不等式の表す領域

$y > m x + n$ , $y ≧ f (x)$ , $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$ などの不等式や連立不等式の表す領域を図示でき、点が領域に含まれるかを判定できる

前提

円の方程式（数学II 図形と方程式）
直線の方程式（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

$y > 2 x + 1$ や $x^{2} + y^{2} ≦ 4$ のように、 $x, y$ についての不等式を満たす点 $(x, y)$ 全体の集まりを、その不等式の表す「領域」といいます。この技能を使うと、境界となる直線や円をかき、どちら側が領域になるかを決めて図示できます。いくつかの不等式を同時に満たす点（連立不等式の領域）も求められます。また、ある点が領域に含まれるかどうかを、座標を代入して判定できます。

なぜそうしてよいのか

直線 $y = m x + n$ 上の点は、 $x$ 座標を決めると $y$ 座標がちょうど $m x + n$ になります。 $x$ を 1 つ固定して縦の直線上で考えると、 $y > m x + n$ を満たす点は直線上の点よりも真上にあります。どの $x$ でも同じことがいえるので、 $y > m x + n$ の表す領域は直線の上側、 $y < m x + n$ は下側です。放物線などの曲線 $y = f (x)$ でも同じ理由で、 $y > f (x)$ は曲線の上側、 $y < f (x)$ は下側になります。 $x > k$ は $y$ に関係なく $x$ 座標が $k$ より大きい点の集まりなので、直線 $x = k$ の右側です。

円の場合は 2 点間の距離を使います。点 $(x, y)$ と中心 $(a, b)$ との距離は $(x - a)^{2} + (y - b)^{2}$ です。両辺とも 0 以上なので、 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$ は「中心からの距離が $r$ より小さい」と同じ意味になります。つまり円の内部です。逆に $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} > r^{2}$ は円の外部になります。

等号のついた不等式（ $≧, ≦$ ）では、境界線上の点も条件を満たすので、領域に含めます。等号のない不等式（ $>, <$ ）では含めません。連立不等式は「すべてを同時に満たす」という意味なので、それぞれの領域の共通部分が答えの領域になります。

手順

不等式を、 $y > f (x)$ ・ $y < f (x)$ の形、 $x > k$ ・ $x < k$ の形、または $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$ の形に変形する。 $y$ の係数が負のときは、両辺をその数で割ると不等号の向きが逆になる。円の一般形は平方完成する。
境界となる直線・曲線・円（不等号を $=$ にした式）をかく。
どちら側が領域かを決める。 $y > f (x)$ なら上側、 $y < f (x)$ なら下側、 $x > k$ なら右側、 $x < k$ なら左側である。円では $< r^{2}$ なら内部、 $> r^{2}$ なら外部になる。迷ったら、境界上にない点（原点など）を代入して確かめる。
境界を含むかどうかを決める。 $≧, ≦$ なら境界を含み、 $>, <$ なら含まない。図にはそのことを書き添える。
連立不等式なら、各領域の共通部分をとる。点が領域に含まれるか判定するときは、その座標をすべての不等式に代入し、どれも成り立つかを調べる。

例題

点 $(1, k)$ が、連立不等式 $y > 2 x - 1, x^{2} + y^{2} < 10$ の表す領域に含まれるような $k$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順1】1 つ目の不等式はすでに $y > 2 x - 1$ の形になっている。2 つ目は $(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} < (10)^{2}$ と書ける。
【手順2・3】1 つ目の表す領域は、直線 $y = 2 x - 1$ の上側である。2 つ目の表す領域は、中心が原点で半径が $10$ の円の内部である。
【手順4】どちらの不等号にも等号がないので、境界（直線と円周）は含まない。
【手順5】求める領域は、2 つの領域の共通部分である。点 $(1, k)$ がこの共通部分に含まれる条件は、両方の不等式に $x = 1, y = k$ を代入して、どちらも成り立つことである。
・1 つ目： $k > 2 \cdot 1 - 1$ より $k > 1$
・2 つ目： $1 + k^{2} < 10$ より $k^{2} < 9$ となり、 $- 3 < k < 3$
両方を同時に満たす範囲は $1 < k < 3$ である。

答え: $1 < k < 3$

よくある誤り

$x - 2 y + 4 > 0$ を「 $>$ だから上側」としてしまう誤り。正しくは、 $- 2 y > - x - 4$ の両辺を $- 2$ で割ると不等号の向きが変わり、 $y < \frac{1}{2} x + 2$ となる。したがって領域は直線の下側である。
$x > 3$ を直線 $x = 3$ の上側としてしまう誤り。正しくは、 $x$ 座標が 3 より大きい点の集まりなので、直線 $x = 3$ の右側（境界は含まない）である。
$x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y < 4$ を、中心や半径を確かめないまま「原点中心の円の内部」としてしまう誤り。正しくは、平方完成すると $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} < 9$ となる。中心 $(2, - 1)$ 、半径 $3$ の円の内部である。
境界の扱いを取り違える誤り。 $(x - 1)^{2} + y^{2} ≦ 4$ の領域は円周を含むので、点 $(3, 0)$ も領域に含まれる。一方、 $(x - 1)^{2} + y^{2} < 4$ の領域は円周を含まないので、点 $(3, 0)$ は含まれない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

領域における最大・最小（数学II 図形と方程式）
多面体の頂点（基底解）（大学院数学凸最適化・組合せ最適化）
連結性と連結成分の個数（大学数学集合と位相）