図形と方程式の問題

領域 D 2 つの不等式の表す領域を $D$ とする。$x^2\leqq y\leqq x+2$ を満たす $y$ が存在するには $x^2\leqq x+2$、すなわち $(x+1)(x-2)\leqq 0$ より $-1\leqq x\leqq 2$ が必要である。$D$ は放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた部分（境界を含む）で、両者の交点は $(-1,1)$, $(2,4)$ である。

$D$ 内では $x+3\geqq 2>0$ なので $\frac{y+1}{x+3}$ は定義される。

図形的な意味 点 $\mathrm{A}(-3,-1)$ をとると、$\frac{y+1}{x+3}=k$ は直線 AP（P$(x,y)$）の傾きである。そこで、A を通る傾き $k$ の直線
$$y+1=k(x+3)$$
が領域 $D$ と共有点をもつような $k$ の範囲を調べる。

最大値 A と直線 $y=x+2$ について、$y+1=x+3$ なので、直線 $y=x+2$ 上の点 P では $k=\frac{(x+2)+1}{x+3}=1$ である。すなわち直線 $y=x+2$ は A を通る（$-1=-3+2$）。$D$ はこの直線の下側（$y\leqq x+2$）にあるので、$D$ の点では $y+1\leqq x+3$、よって
$$\frac{y+1}{x+3}\leqq 1$$
等号は P が線分 $y=x+2$（$-1\leqq x\leqq 2$）上にあるとき成り立つ。よって最大値は $1$。

最小値 $D$ の点は放物線 $y=x^2$ の上側にあるので、$k$ を最小にする点は放物線の部分 $y=x^2$（$-1\leqq x\leqq 2$）上にある（同じ $x$ では $y$ が小さいほど $k$ は小さい）。A を通る直線が放物線に接する条件を求める。$y=x^2$ と $y=k(x+3)-1$ から
$$x^2-kx+1-3k=0$$
判別式を 0 とおくと
$$k^2-4(1-3k)=0⟺k^2+12k-4=0⟺k=-6\pm 2\sqrt{10}$$
接点の $x$ 座標は $x=\frac{k}{2}$ である。
- $k=-6+2\sqrt{10}$ のとき $x=\sqrt{10}-3$（$\approx 0.16$）で、$-1\leqq x\leqq 2$ を満たす。
- $k=-6-2\sqrt{10}$ のとき $x=-3-\sqrt{10}$ で、範囲外。

A から $D$ を見ると、傾き $k$ を小さくしていったとき直線が最後に $D$ と接するのは接点 $(\sqrt{10}-3,19-6\sqrt{10})$ においてである。（実際、$f(x)=\frac{x^2+1}{x+3}$ について $x^2+1-k(x+3)={\left(x-\frac{k}{2}\right)}^2\geqq 0$ より $f(x)\geqq k=2\sqrt{10}-6$ が成り立つ。）

確認: 接点で $\frac{y+1}{x+3}=\frac{20-6\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}-6$。また端点では $(-1,1)$ で $1$、$(2,4)$ で $1$ であり、$2\sqrt{10}-6\approx 0.32$ より大きい。

よって最小値は $2\sqrt{10}-6$。

したがって、最大値 $1$、最小値 $2\sqrt{10}-6$。

$x^2\leqq y\leqq x+2$ の領域 $D$ は、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ の交点 $(-1,1)$, $(2,4)$ の間（$-1\leqq x\leqq 2$）にある。

$k=\frac{y+1}{x+3}$ は、定点 $\mathrm{Q}(-3,-1)$ と点 $(x,y)\in D$ を結ぶ直線の傾きである。$x\geqq -1$ なので $x+3>0$ で分母は $0$ にならない。

直線 $y+1=k(x+3)$ が $D$ と共有点をもつ $k$ の範囲を求める。

・最大値: 点 Q は直線 $y=x+2$ 上にある（$-1=-3+2$）。$D$ の点 $(-1,1)$, $(2,4)$ はこの直線上にあり、Q との傾きは $1$。$D$ は直線 $y=x+2$ の下側にあるので、Q から見て傾きは $1$ 以下で、最大値は $1$（例えば $(2,4)$ で達成）。

・最小値: $y=x^2$ と $y=k(x+3)-1$ から $x^2-kx-3k+1=0$。接する条件は判別式 $k^2+12k-4=0$、$k=-6\pm 2\sqrt{10}$。接点の $x$ 座標は $k/2=-3\pm \sqrt{10}$。$-1\leqq x\leqq 2$ を満たすのは $x=-3+\sqrt{10}\approx 0.162$（$k=-6+2\sqrt{10}\approx 0.325$）。この接点は $y=x^2\leqq x+2$ も満たし $D$ の境界上にある。傾きがこれより小さい直線は放物線の下をとおるため $D$ と交わらない。よって最小値は $2\sqrt{10}-6$。

検算: $(0,0)$ で $k=1/3\approx 0.333>0.325$、$(-1,1)$ で $k=1$。最小値は $0.325$ で整合。

以上より、最大値 $1$、最小値 $2\sqrt{10}-6$。