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図形と方程式の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 図形と方程式

実数 $x, y$ が次の 2 つの不等式を同時に満たしながら動く。
$y ≧ 0, y ≦ - x^{2} + 4 x$
このとき、 $\frac{y + 2}{x + 1}$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

x

y

O

y = - x^{2} + 4 x

この問題で使うもの

不等式の表す領域（説明と入口の問題）
領域における最大・最小（説明と入口の問題）
直線の方程式（説明と入口の問題）
円と直線の位置関係と弦の長さ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$\frac{y + 2}{x + 1}$ は、点 $(- 1, - 2)$ と点 $(x, y)$ を結ぶ直線の傾きと見ることができます。まず領域を図示しましょう。

ヒント 2

傾きを $k$ とおき、直線 $y = k (x + 1) - 2$ が領域と共有点をもつ範囲を考えます。最大は放物線に接するとき、最小は領域の端の点を通るときが候補です。

ヒント 3

放物線との連立で $x^{2} + (k - 4) x + k - 2 = 0$ となり、接する条件は $k^{2} - 12 k + 24 = 0$ です。2 つの解のうち、接点が $0 ≦ x ≦ 4$ に入るほうを選びましょう。最小値の候補は点 $(4, 0)$ です。

答えと解説

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(6 - 23, \frac{2}{5})

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解説を読む

領域 2 つの不等式を満たす点 $(x, y)$ の領域を $D$ とする。 $0 ≦ - x^{2} + 4 x$ より $0 ≦ x ≦ 4$ であり、 $D$ は放物線 $y = - x^{2} + 4 x$ と $x$ 軸で囲まれた部分（境界を含む）である。 $D$ 上では $x + 1 > 0$ なので式は定義される。

図形的な意味 $k = \frac{y + 2}{x + 1}$ とおくと、 $k$ は点 $E (- 1, - 2)$ と点 $(x, y)$ を結ぶ直線の傾きである。つまり、直線 $y + 2 = k (x + 1)$ が $D$ と共有点をもつような $k$ の最大値・最小値を求めればよい。

最小値 $D$ 上では $y ≧ 0$ , $0 < x + 1 ≦ 5$ なので
$\frac{y + 2}{x + 1} ≧ \frac{2}{x + 1} ≧ \frac{2}{5} .$
等号は $y = 0$ , $x = 4$ 、すなわち点 $(4, 0)$ で成り立ち、この点は $D$ に含まれる。よって最小値は $\frac{2}{5}$ 。

最大値 傾き $k$ を大きくしていくと、直線は放物線の弧の部分に接するところで $D$ から離れる。直線 $y = k (x + 1) - 2$ と放物線 $y = - x^{2} + 4 x$ を連立すると
$- x^{2} + 4 x = k x + k - 2 ⟺ x^{2} + (k - 4) x + k - 2 = 0.$
接する条件は判別式が $0$ であることなので
$(k - 4)^{2} - 4 (k - 2) = 0 ⟺ k^{2} - 12 k + 24 = 0 ⟺ k = 6 \pm 23 .$
接点の $x$ 座標は $x = \frac{4 - k}{2}$ である。
- $k = 6 - 23$ のとき $x = 3 - 1$ で、 $0 ≦ x ≦ 4$ を満たす。接点の $y$ 座標は $y = - (3 - 1)^{2} + 4 (3 - 1) = 63 - 8 (> 0)$ で、 $D$ の境界上にある。
- $k = 6 + 23$ のとき $x = - 1 - 3 < 0$ で、 $D$ の範囲外である。

放物線 $y = - x^{2} + 4 x$ は上に凸なので $D$ は凸な図形であり、 $E$ を通る直線の傾きが最大になるのは $D$ の弧の部分に接するときである。実際、 $(0, 0)$ との傾きは $2$ 、 $(4, 0)$ との傾きは $\frac{2}{5}$ で、いずれも $6 - 23 (\approx 2.54)$ より小さい。よって最大値は $6 - 23$ （ $x = 3 - 1$ , $y = 63 - 8$ のとき）。

以上より、最大値 $6 - 23$ 、最小値 $\frac{2}{5}$ 。

別解

領域 $D$ : $0 \leq y \leq - x^{2} + 4 x$ （ $0 \leq x \leq 4$ 、境界を含む）。 $k = \frac{y + 2}{x + 1}$ は点 $(- 1, - 2)$ と $D$ の点を結ぶ直線の傾きである（ $x \geq 0$ より $x + 1 > 0$ ）。

最大値: 点 $(- 1, - 2)$ を通る直線 $y + 2 = k (x + 1)$ が放物線 $y = - x^{2} + 4 x$ に接するとき。 $- x^{2} + 4 x = k (x + 1) - 2$ より $x^{2} + (k - 4) x + k - 2 = 0$ 。判別式 $(k - 4)^{2} - 4 (k - 2) = k^{2} - 12 k + 24 = 0$ より $k = 6 \pm 23$ 。接点の $x$ 座標は $\frac{4 - k}{2}$ で、 $k = 6 - 23$ のとき $x = 3 - 1 \approx 0.73$ （ $0 \leq x \leq 4$ で領域内）、 $k = 6 + 23$ のとき $x = - 1 - 3 < 0$ （領域外）。よって最大値は $6 - 23$ 。端点 $(0, 0)$ では $k = 2 < 6 - 23 \approx 2.54$ で矛盾しない。

最小値: 傾きが最小になるのは領域の右端 $(4, 0)$ を通るとき。 $k = \frac{0 + 2}{4 + 1} = \frac{2}{5}$ 。 $x$ 軸上では $k = \frac{2}{x + 1}$ が $x = 4$ で最小、放物線上では $k = \frac{- x ^{2} + 4 x + 2}{x + 1}$ が $x = 4$ で $\frac{2}{5}$ 、 $x = 0$ で 2 などで、 $\frac{2}{5}$ より小さくならない。

検算: $x = 3 - 1$ のとき $y = - (4 - 23) + 43 - 4 = 63 - 8$ 、 $\frac{y + 2}{x + 1} = \frac{6 3 - 6}{3} = 6 - 23$ ✓。

最大値 $6 - 23$ 、最小値 $\frac{2}{5}$ 。

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