図形と方程式の問題

$F=x^2-6x+y^2$ とおくと
$$F=(x-3{)}^2+y^2-9$$
である。$(x-3{)}^2+y^2$ は点 $(x,y)$ と点 $(3,0)$ の距離の 2 乗なので、領域 $D:x^2\leqq y\leqq 4$ の点のうち、点 $(3,0)$ から最も遠い点・最も近い点を考えればよい。

領域 $D$ は放物線 $y=x^2$ と直線 $y=4$ で囲まれた部分（境界を含む）で、$x^2\leqq 4$ より $-2\leqq x\leqq 2$、また $0\leqq x^2\leqq y\leqq 4$ である。

最大値

$D$ の点では $-2\leqq x\leqq 2$ だから $1\leqq 3-x\leqq 5$ より $(x-3{)}^2\leqq 25$、また $0\leqq y\leqq 4$ だから $y^2\leqq 16$。よって
$$F\leqq 25+16-9=32$$
等号は $x=-2,y=4$ のときで、点 $(-2,4)$ は $(-2{)}^2\leqq 4\leqq 4$ を満たし $D$ に含まれる。したがって最大値は $32$ である。

最小値

$D$ の点では $y\geqq x^2\geqq 0$ なので、両辺とも $0$ 以上であることから $y^2\geqq x^4$。よって
$$F=(x-3{)}^2+y^2-9\geqq (x-3{)}^2+x^4-9$$
ここで $g(x)=x^4+(x-3{)}^2-9=x^4+x^2-6x$ とおくと
$$g^{\prime }(x)=4x^3+2x-6=2(2x^3+x-3)=2(x-1)(2x^2+2x+3)$$
$2x^2+2x+3=2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}>0$ なので、$g^{\prime }(x)$ の符号は $x-1$ の符号と一致する。よって $g(x)$ は $x<1$ で減少、$x>1$ で増加し、すべての実数 $x$ に対して
$$g(x)\geqq g(1)=1+1-6=-4$$
したがって $F\geqq -4$ であり、等号は $x=1$ かつ $y^2=x^4$、すなわち $(x,y)=(1,1)$ のときに成り立つ。点 $(1,1)$ は $1\leqq 1\leqq 4$ を満たし $D$ に含まれる。したがって最小値は $-4$ である。

以上より、最大値と最小値は順に $32,-4$ である。

$f=x^2-6x+y^2$ とおく。領域 $D:x^2\le y\le 4$ は放物線 $y=x^2$ と直線 $y=4$ で囲まれた領域で、$-2\le x\le 2$。

$f=(x-3{)}^2+y^2-9$ より、$f+9$ は点 $(3,0)$ と点 $(x,y)$ の距離の 2 乗。

$x$ を固定して $y$ を動かす。 $-2\le x\le 2$ のとき $y$ は $x^2\le y\le 4$ を動き、$x^2\ge 0$ なので $y\ge 0$。$f=y^2+x^2-6x$ は $y\ge 0$ で $y$ について単調増加。よって
- 最小: $y=x^2$ のとき $f=x^4+x^2-6x$
- 最大: $y=4$ のとき $f=x^2-6x+16$

最小値。 $g(x)=x^4+x^2-6x$ $(-2\le x\le 2)$。$g^{\prime }(x)=4x^3+2x-6=2(x-1)(2x^2+2x+3)$。$2x^2+2x+3$ の判別式は $4-24<0$ で常に正なので、$g^{\prime }$ の符号は $x-1$ と同じ。$x<1$ で減少、$x>1$ で増加。最小値は $g(1)=1+1-6=-4$。

最大値。 $h(x)=x^2-6x+16=(x-3{)}^2+7$ $(-2\le x\le 2)$ は $x\le 2<3$ で減少するので、$x=-2$ で最大: $h(-2)=4+12+16=32$。

検算: 最大は点 $(-2,4)$ で $f=4+12+16=32$ （$y=4\ge x^2=4$ を満たす）。最小は点 $(1,1)$ で $f=1-6+1=-4$ （$1\le 1\le 4$ を満たす）。ほかの頂点 $(2,4)$ では $f=4-12+16=8$、$(0,0)$ では $f=0$ で、どちらも $-4$ 以上 $32$ 以下。

よって最大値 $32$、最小値 $-4$。