図形と方程式の問題

不等式 $x^2+y^2\leqq 10$ の表す領域を $D$ とする。$D$ は、原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $\sqrt{10}$ の円の周および内部である。

手順 1：$x+3y=k$ とおく。
$$x+3y=k(1)$$
とおくと、$(1)$ は $y=-\frac{1}{3}x+\frac{k}{3}$ と変形でき、傾き $-\frac{1}{3}$、$y$ 切片 $\frac{k}{3}$ の直線を表す。点 $(x,y)$ が $D$ を動くときに $x+3y$ がとりうる値は、直線 $(1)$ が領域 $D$ と共有点をもつような $k$ の値である。

手順 2：直線が領域と共有点をもつ $k$ の範囲を調べる。
直線 $(1)$ が円の周および内部と共有点をもつのは、円の中心 $\mathrm{O}(0,0)$ と直線 $x+3y-k=0$ の距離が半径 $\sqrt{10}$ 以下のときである。点と直線の距離の公式より
$$\frac{|0+3\cdot 0-k|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{10}}\leqq \sqrt{10}$$
よって $|k|\leqq 10$、すなわち
$$-10\leqq k\leqq 10$$

手順 3：最大・最小になる点を確かめる。
$k=10$ のとき、直線 $x+3y=10$ は円 $x^2+y^2=10$ に接する。接点は、原点を通り直線 $(1)$ に垂直な直線 $y=3x$ と直線 $x+3y=10$ の交点で、$x+9x=10$ より $x=1,y=3$。点 $(1,3)$ は $1^2+3^2=10$ を満たし、$D$ に含まれる。
$k=-10$ のとき、同様に $y=3x$ と $x+3y=-10$ の交点は $(-1,-3)$ で、これも $D$ に含まれる。

したがって、$x+3y$ は $x=1,y=3$ のとき最大値 $10$、$x=-1,y=-3$ のとき最小値 $-10$ をとる。

答え：最大値 $10$、最小値 $-10$

コーシー・シュワルツの不等式より $(x+3y{)}^2\leqq (1^2+3^2)(x^2+y^2)\leqq 10\cdot 10=100$ なので、$-10\leqq x+3y\leqq 10$。
等号は $(x,y)$ が $(1,3)$ に比例し $x^2+y^2=10$ のときに成立する。$(x,y)=(1,3)$ のとき $x^2+y^2=10$ で $x+3y=10$。$(x,y)=(-1,-3)$ のとき $x+3y=-10$。
別解として、$x+3y=k$ とおくと直線 $x+3y-k=0$ が円板 $x^2+y^2\leqq 10$ と共有点をもつ条件は $\frac{|k|}{\sqrt{10}}\leqq \sqrt{10}$ すなわち $|k|\leqq 10$ となり、一致する。
検算：$(1,3)$ で $1+9=10$、$x+3y=1+9=10$。
最大値 $10$、最小値 $-10$。