図形と方程式の問題

領域を確かめる

不等式 $x^2+y^2\leqq 5$ の表す領域 $D$ は、原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $\sqrt{5}$ の円の周と内部です。

$2x+y=k$ とおく

$2x+y=k$ とおくと
$$y=-2x+k(1)$$
となります。これは傾き $-2$、$y$ 切片 $k$ の直線です。

点 $(x,y)$ が $D$ を動くときに $2x+y$ がとる値は、直線 $(1)$ が領域 $D$ と共有点をもつような $k$ の値です。そこで、直線 $(1)$ が $D$ と共有点をもつ $k$ の範囲を調べます。

共有点をもつ条件

直線 $(1)$ は傾きを $-2$ に保ったまま、$k$ によって平行に動きます。この直線が円の周と内部に共有点をもつのは、中心 $\mathrm{O}$ と直線の距離が半径 $\sqrt{5}$ 以下のときです。

直線 $(1)$ を一般形にすると $2x+y-k=0$ です。点と直線の距離の公式より、原点との距離は
$$\frac{|2\cdot 0+0-k|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{5}}$$
です。条件は
$$\frac{|k|}{\sqrt{5}}\leqq \sqrt{5}$$
となります。両辺に $\sqrt{5}$ を掛けると $|k|\leqq 5$、すなわち
$$-5\leqq k\leqq 5$$
です。

等号が成り立つ点（直線が円に接するとき）

$k=5$ のとき、直線 $2x+y=5$ は円に接します。接点は、原点を通り直線 $(1)$ に垂直な直線 $y=\frac{1}{2}x$ との交点です。
$$2x+\frac{1}{2}x=5$$
を解くと $x=2$ となり、このとき $y=1$ です。実際に $2^2+1^2=5$ なので、点 $(2,1)$ は $D$ に含まれます。

同じようにして、$k=-5$ のときの接点は $(-2,-1)$ です。

結論

$2x+y$ は
- $x=2,y=1$ のとき最大値 $5$
- $x=-2,y=-1$ のとき最小値 $-5$

をとります。答えは $(5,-5)$ です。

コーシー・シュワルツの不等式より $(2x+y{)}^2\leqq (2^2+1^2)(x^2+y^2)\leqq 5\cdot 5=25$ なので、$-5\leqq 2x+y\leqq 5$。
等号は $(x,y)=t(2,1)$ かつ $x^2+y^2=5$ のとき成り立つ。$5t^2=5$ より $t=\pm 1$。
$(x,y)=(2,1)$ のとき $2x+y=5$、$(x,y)=(-2,-1)$ のとき $2x+y=-5$。
別解：$2x+y=k$ とおくと、直線 $2x+y-k=0$ と円の中心 O の距離 $|k|/\sqrt{5}\leqq \sqrt{5}$ より $|k|\leqq 5$。同じ結果になる。
よって最大値は $5$、最小値は $-5$。