この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

図形と方程式の問題

難易度 3共通テストレベル数学II 図形と方程式

実数 $x, y$ が次の 2 つの不等式を同時に満たしている。
$x + y ≧ 2, y ≦ 4 - x^{2}$
このとき、 $x^{2} + y^{2}$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

x

y

O

x + y = 2

y = 4 - x^{2}

この問題で使うもの

不等式の表す領域（説明と入口の問題）
領域における最大・最小（説明と入口の問題）
点と直線の距離（説明と入口の問題）
平方完成と 2 次関数のグラフ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$x^{2} + y^{2}$ は原点と点 $(x, y)$ の距離の 2 乗と考えられます。まず、2 つの不等式が表す領域を図示しましょう。

ヒント 2

直線 $x + y = 2$ と放物線 $y = 4 - x^{2}$ の交点を求めて、領域の形をつかみましょう。最小値は原点から直線への垂線の足が領域に入るかどうか、最大値は境界（線分と放物線の弧）上で調べます。

ヒント 3

交点は $(- 1, 3)$ , $(2, 0)$ です。原点から直線 $x + y = 2$ への垂線の足は $(1, 1)$ です。弧の上では $t = x^{2} (0 ≦ t ≦ 4)$ とおくと $x^{2} + y^{2} = t^{2} - 7 t + 16$ となります。

答えと解説

答えを見る

(16, 2)

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

連立不等式の表す領域を $D$ とする。 $D$ は直線 $x + y = 2$ の上側（境界を含む）と、放物線 $y = 4 - x^{2}$ の下側（境界を含む）の共通部分である。

まず、直線と放物線の交点を求める。 $y = 2 - x$ を $y = 4 - x^{2}$ に代入すると
$2 - x = 4 - x^{2} ⟺ x^{2} - x - 2 = 0 ⟺ (x - 2) (x + 1) = 0$
より $x = - 1, 2$ である。よって交点は $(- 1, 3)$ , $(2, 0)$ である。

$- 1 ≦ x ≦ 2$ では $(4 - x^{2}) - (2 - x) = - (x - 2) (x + 1) ≧ 0$ なので、放物線が直線の上側にある。したがって $D$ は、線分 $x + y = 2 (- 1 ≦ x ≦ 2)$ と放物線の弧 $y = 4 - x^{2} (- 1 ≦ x ≦ 2)$ で囲まれた部分（境界を含む）である。

$x^{2} + y^{2}$ は原点 $O$ と点 $(x, y)$ の距離の 2 乗である。 $D$ は有界な閉じた領域であり、 $D$ の内部の点を通って原点から遠ざかる向きに少し動かしても $D$ 内にとどまるので、最大値は境界上でとる。

最小値
原点は $0 + 0 ≧ 2$ を満たさないので $D$ の外にある。 $D$ は半平面 $x + y ≧ 2$ に含まれ、原点と直線 $x + y = 2$ の距離は
$\frac{∣0 + 0 - 2∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = 2$
である。原点から直線 $x + y = 2$ に下ろした垂線の足は $(1, 1)$ であり、 $- 1 ≦ 1 ≦ 2$ かつ $1 ≦ 4 - 1^{2} = 3$ を満たすので $(1, 1)$ は $D$ に属する。よって $D$ 上の点では常に $x^{2} + y^{2} ≧ 2$ で、 $(x, y) = (1, 1)$ のとき等号が成り立つ。最小値は $2$ である。

最大値
境界を 2 つに分けて調べる。

(i) 線分 $y = 2 - x (- 1 ≦ x ≦ 2)$ 上：
$x^{2} + (2 - x)^{2} = 2 x^{2} - 4 x + 4 = 2 (x - 1)^{2} + 2$
であり、 $- 1 ≦ x ≦ 2$ での最大値は $x = - 1$ のときの $2 \cdot 4 + 2 = 10$ である。

(ii) 弧 $y = 4 - x^{2} (- 1 ≦ x ≦ 2)$ 上： $t = x^{2}$ とおくと、 $- 1 ≦ x ≦ 2$ より $0 ≦ t ≦ 4$ であり
$x^{2} + y^{2} = t + (4 - t)^{2} = t^{2} - 7 t + 16 = (t - \frac{7}{2})^{2} + \frac{15}{4}$
となる。 $0 ≦ t ≦ 4$ では、軸 $t = \frac{7}{2}$ から遠い $t = 0$ で最大となり、その値は $16$ である（ $t = 4$ のときは $4$ ）。 $t = 0$ は $x = 0, y = 4$ に対応する。

(i), (ii) より、最大値は $16$ （ $(x, y) = (0, 4)$ のとき）である。

以上より、最大値 $16$ 、最小値 $2$ である。

別解

条件より $2 - x \leq y \leq 4 - x^{2}$ 。これを満たす $y$ が存在するには $2 - x \leq 4 - x^{2}$ 、すなわち $x^{2} - x - 2 \leq 0$ より $- 1 \leq x \leq 2$ 。領域は放物線 $y = 4 - x^{2}$ と直線 $y = 2 - x$ で囲まれた部分で、交点は $(- 1, 3)$ と $(2, 0)$ である。

$x^{2} + y^{2}$ は原点からの距離の2乗である。原点は $x + y < 2$ の側にあり領域の外なので、最小値は境界上でとる。最大値は、 $x^{2} + y^{2}$ が下に凸であることから領域の境界上でとる。

【最大値】放物線部分 $y = 4 - x^{2}$ （ $- 1 \leq x \leq 2$ ）では、 $t = x^{2}$ （ $0 \leq t \leq 4$ ）とおくと $x^{2} + y^{2} = t + (4 - t)^{2} = t^{2} - 7 t + 16$ 。 $t = 0$ のとき $16$ 、 $t = 4$ のとき $4$ 、 $t = 7/2$ のとき最小で $15/4$ 。直線部分は線分で、端点の値は $(- 1, 3)$ で $10$ 、 $(2, 0)$ で $4$ 。したがって最大値は $t = 0$ すなわち点 $(0, 4)$ での $16$ 。

【最小値】線分 $y = 2 - x$ （ $- 1 \leq x \leq 2$ ）上では $x^{2} + (2 - x)^{2} = 2 (x - 1)^{2} + 2$ 。 $x = 1$ は範囲内で、このとき最小値 $2$ （点 $(1, 1)$ ）。これは $(1, 1)$ で $y = 1 \leq 3$ を満たすので領域内。放物線部分の最小値 $15/4$ より小さい。したがって最小値は $2$ 。

検算： $(0, 4)$ は $x + y = 4 \geq 2$ 、 $y = 4 \leq 4$ で条件を満たし、値は $16$ 。 $(1, 1)$ は $x + y = 2$ 、 $1 \leq 3$ で条件を満たし、値は $2$ 。

答え：最大値 $16$ 、最小値 $2$ 。

図形と方程式の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題