この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

図形と方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 図形と方程式

実数 $x, y$ が次の 4 つの不等式をすべて満たすとする。
$x ≧ 1, y ≧ 1, x + 2 y ≦ 8, 3 x + y ≦ 9$
このとき、 $2 x + 3 y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

x

y

O

x = 1

y = 1

x + 2 y = 8

3 x + y = 9

この問題で使うもの

領域における最大・最小（説明と入口の問題）
不等式の表す領域（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず 4 つの不等式が表す領域を図示し、その頂点の座標を求めましょう。

ヒント 2

$2 x + 3 y = k$ とおくと $y = - \frac{2}{3} x + \frac{k}{3}$ となります。この直線が領域と共有点をもつときの $y$ 切片 $\frac{k}{3}$ の最大・最小を考えます。傾き $- \frac{2}{3}$ を、境界の直線の傾き $- \frac{1}{2}$ や $- 3$ と比べてみましょう。

ヒント 3

領域の頂点は $(1, 1), (\frac{8}{3}, 1), (2, 3), (1, \frac{7}{2})$ です。 $- 3 < - \frac{2}{3} < - \frac{1}{2}$ なので、最大となるのは 2 直線 $x + 2 y = 8$ , $3 x + y = 9$ の交点を通るときです。

答えと解説

答えを見る

(13, 5)

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

領域の頂点を求める

与えられた連立不等式の表す領域を $D$ とする。境界の直線は
$x = 1, y = 1, x + 2 y = 8, 3 x + y = 9$
であり、 $D$ は四角形の周および内部になる。頂点を求める。

$x = 1$ と $y = 1$ の交点は $(1, 1)$ である。
$y = 1$ と $3 x + y = 9$ の交点は、 $3 x = 8$ より $(\frac{8}{3}, 1)$ である。
$x = 1$ と $x + 2 y = 8$ の交点は、 $2 y = 7$ より $(1, \frac{7}{2})$ である。
$x + 2 y = 8$ と $3 x + y = 9$ の交点を求める。第 2 式から $y = 9 - 3 x$ である。これを第 1 式に代入すると $x + 18 - 6 x = 8$ より $x = 2$ 、よって $y = 3$ となり、交点は $(2, 3)$ である。

これらの点が残りの不等式も満たすことを確かめる。たとえば $(2, 3)$ は $x ≧ 1, y ≧ 1$ を満たす。 $(\frac{8}{3}, 1)$ は $x + 2 y = \frac{14}{3} ≦ 8$ を満たす。 $(1, \frac{7}{2})$ は $3 x + y = \frac{13}{2} ≦ 9$ を満たす。よって $D$ は 4 点 $(1, 1), (\frac{8}{3}, 1), (2, 3), (1, \frac{7}{2})$ を頂点とする四角形の周および内部である。

直線 $2 x + 3 y = k$ の動きを考える

$2 x + 3 y = k$ とおくと、
$y = - \frac{2}{3} x + \frac{k}{3}$
である。これは傾き $- \frac{2}{3}$ 、 $y$ 切片 $\frac{k}{3}$ の直線を表す。この直線が領域 $D$ と共有点をもつ範囲で、 $y$ 切片 $\frac{k}{3}$ の最大・最小を考えればよい。

境界の直線の傾きは、 $x + 2 y = 8$ が $- \frac{1}{2}$ 、 $3 x + y = 9$ が $- 3$ である。したがって
$- 3 < - \frac{2}{3} < - \frac{1}{2}$
が成り立つ。

$y$ 切片が最大になるのは、直線が 2 直線 $x + 2 y = 8$ , $3 x + y = 9$ の交点 $(2, 3)$ を通るときである。このとき $k = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13$ となる。
$y$ 切片が最小になるのは、直線が点 $(1, 1)$ を通るときである。このとき $k = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$ となる。

確認

各頂点での値を計算すると次のとおりで、上の結果と一致する。

$(1, 1)$ で $5$
$(\frac{8}{3}, 1)$ で $\frac{16}{3} + 3 = \frac{25}{3}$
$(1, \frac{7}{2})$ で $2 + \frac{21}{2} = \frac{25}{2}$
$(2, 3)$ で $13$

答え

最大値は $13$ （ $x = 2, y = 3$ のとき）、最小値は $5$ （ $x = 1, y = 1$ のとき）である。

別解

領域は $x ≧ 1, y ≧ 1, x + 2 y ≦ 8, 3 x + y ≦ 9$ で囲まれる四角形である。頂点を求める。
・ $x = 1, y = 1$ ： $(1, 1)$ 。条件 $1 + 2 = 3 ≦ 8$ 、 $3 + 1 = 4 ≦ 9$ を満たす。
・ $x = 1$ と $x + 2 y = 8$ ： $y = \frac{7}{2}$ より $(1, \frac{7}{2})$ 。 $3 x + y = 3 + 3.5 = 6.5 ≦ 9$ を満たす。
・ $y = 1$ と $3 x + y = 9$ ： $x = \frac{8}{3}$ より $(\frac{8}{3}, 1)$ 。 $x + 2 y = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3} ≦ 8$ を満たす。
・ $x + 2 y = 8$ と $3 x + y = 9$ ： $x = 2, y = 3$ より $(2, 3)$ 。

$2 x + 3 y$ の値は各頂点で次のとおり。
$(1, 1)$ ： $5$
$(1, \frac{7}{2})$ ： $2 + \frac{21}{2} = \frac{25}{2}$
$(\frac{8}{3}, 1)$ ： $\frac{16}{3} + 3 = \frac{25}{3}$
$(2, 3)$ ： $4 + 9 = 13$

領域は凸多角形で目的関数は一次式なので、最大値・最小値は頂点で取る。よって最大値は $13$ （ $(x, y) = (2, 3)$ ）、最小値は $5$ （ $(x, y) = (1, 1)$ ）。

検算： $(2, 3)$ は $2 + 6 = 8$ 、 $6 + 3 = 9$ でともに等号が成り立ち、条件を満たす。 $2 x + 3 y$ の傾きは $- \frac{2}{3}$ で、 $x + 2 y = 8$ の傾き $- \frac{1}{2}$ と $3 x + y = 9$ の傾き $- 3$ の間にあるので、 $(2, 3)$ で最大となることとも整合する。

図形と方程式の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題