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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

座標平面上で、連立不等式
$y > 2 x - 1, x^{2} + y^{2} < 25$
の表す領域を $D$ とする。 $k$ を整数とするとき、点 $(k, 3)$ が領域 $D$ に含まれるような $k$ の値をすべて求めよ。

x

y

O

y = 2 x - 1

x^{2} + y^{2} = 25

境界線（破線）は領域に含まれない

この問題で使うもの

不等式の表す領域（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（39 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「不等式の表す領域」を使います。点がある領域に含まれるかどうかは、その点の座標を不等式に代入して、不等式が成り立つかどうかで判定できます。

ヒント 2

$x = k, y = 3$ を $y > 2 x - 1$ と $x^{2} + y^{2} < 25$ の両方に代入し、2 つの不等式がどちらも成り立つ条件を求めます。境界線は含まれない（不等号に等号がない）ことに注意します。

ヒント 3

1 つ目の不等式からは $k < 2$ が、2 つ目の不等式からは $k^{2} < 16$ が得られます。

答えと解説

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{- 3, - 2, - 1, 0, 1}

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解説を読む

領域 $D$ の確認

不等式 $y > 2 x - 1$ の表す領域は、直線 $y = 2 x - 1$ の上側です。境界線は含みません。
不等式 $x^{2} + y^{2} < 25$ の表す領域は、中心が原点 $O$ 、半径が $5$ の円の内部です。境界線は含みません。
領域 $D$ は、この 2 つの領域の共通部分です。

点が領域に含まれるかの判定

点 $(k, 3)$ が $D$ に含まれるのは、 $x = k, y = 3$ を代入したときに 2 つの不等式がどちらも成り立つときです。

(1) $y > 2 x - 1$ に代入すると
$3 > 2 k - 1 より 2 k < 4 よって k < 2$

(2) $x^{2} + y^{2} < 25$ に代入すると
$k^{2} + 9 < 25 より k^{2} < 16 よって - 4 < k < 4$

(1) と (2) を同時に満たす $k$ の範囲は $- 4 < k < 2$ です。このうち整数であるものは
$k = - 3, - 2, - 1, 0, 1$

なお、 $k = 2$ のときは $3 = 2 \cdot 2 - 1$ となり、点は直線の上にあります。境界線は含まないので、この点は $D$ に含まれません。

別解

点 $(k, 3)$ が $D$ に含まれる条件は、 $3 > 2 k - 1$ かつ $k^{2} + 9 < 25$ 。
第1式より $2 k < 4$ 、すなわち $k < 2$ 。
第2式より $k^{2} < 16$ 、すなわち $- 4 < k < 4$ 。
両方を満たす範囲は $- 4 < k < 2$ 。
$k$ は整数なので $k = - 3, - 2, - 1, 0, 1$ 。
検算： $k = 1$ のとき $3 > 1$ で成り立ち、 $1 + 9 = 10 < 25$ で成り立つ。 $k = 2$ のとき $3 > 3$ が不成立。 $k = - 4$ のとき $16 + 9 = 25 < 25$ が不成立。 $k = - 3$ のとき $9 + 9 = 18 < 25$ で成り立ち、 $3 > - 7$ も成り立つ。

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