図形と方程式の問題

手順1：不等式の表す領域を読み取る

方程式 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2=25$ は、中心 $(1,-1)$、半径 $5$ の円を表します。

不等式 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2<25$ は「点 $(x,y)$ と中心 $(1,-1)$ の距離が $5$ より小さい」ことを表します。したがって、この不等式の表す領域はこの円の内部です。不等号に等号がないので、境界線（円周）は含みません。

手順2：点が領域に含まれる条件を式にする

点 $(x_0,y_0)$ がこの領域に含まれるのは、$x=x_0,y=y_0$ を代入して不等式が成り立つときです。

点 $\mathrm{P}(a,2)$ について、$x=a,y=2$ を代入すると
$$(a-1{)}^2+(2+1{)}^2<25$$
となります。

手順3：$a$ についての不等式を解く

$$(a-1{)}^2+9<25$$
$$(a-1{)}^2<16$$
$$-4<a-1<4$$
$$-3<a<5$$

境界線は含まないので、両端の $a=-3,5$ は含みません。

よって、求める範囲は $-3<a<5$ です。

点 $\mathrm{P}(a,2)$ が領域 $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2<25$ に含まれる条件は、$x=a$, $y=2$ を代入して
$$(a-1{)}^2+(2+1{)}^2<25$$
となる。
整理すると $(a-1{)}^2+9<25$ より $(a-1{)}^2<16$。
よって $-4<a-1<4$、すなわち $-3<a<5$。
検算：$a=-3$ のとき $(-4{)}^2+9=25$ で等号となり領域に含まれない（不等号は厳密）。$a=0$ のとき $1+9=10<25$ で成り立つ。$a=5$ のとき $16+9=25$ で含まれない。
答えは $-3<a<5$。