図形と方程式の問題

領域 $D$ の確認

不等式 $y<x+1$ の表す領域は、直線 $y=x+1$ の下側です。境界線は含みません。

不等式 $x^2+y^2<13$ の表す領域は、中心が原点、半径が $\sqrt{13}$ の円 $x^2+y^2=13$ の内部です。境界の円周は含みません。

領域 $D$ は、この 2 つの領域の共通部分です。

点が領域に含まれる条件

点 $\mathrm{P}(a,2)$ が $D$ に含まれるのは、$x=a,y=2$ を 2 つの不等式に代入したとき、どちらも成り立つときです。

$(1)$ $y<x+1$ に代入すると
$$2<a+1\text{より}a>1$$

$(2)$ $x^2+y^2<13$ に代入すると
$$a^2+4<13\text{より}{a}^2<9$$
したがって $-3<a<3$ です。

共通範囲

$(1)$ と $(2)$ をともに満たす範囲は
$$1<a<3$$

図で確かめる

点 $\mathrm{P}$ は直線 $y=2$ の上を動きます。

• 直線 $y=2$ は、円と点 $(-3,2)$, $(3,2)$ で交わります。
• 直線 $y=2$ は、直線 $y=x+1$ と点 $(1,2)$ で交わります。

直線 $y=2$ のうち、円の内部にあり、しかも直線 $y=x+1$ の下側にある部分は $1<x<3$ の部分です。これは上の結果と一致します。

境界は含まないので、端の $a=1$, $a=3$ は含みません。

答え: $1<a<3$

点 $\mathrm{P}(a,2)$ が $D$ に含まれる条件は、$x=a,y=2$ を代入して次の2式が成り立つことである。

(1) $y<x+1$ より $2<a+1$、すなわち $a>1$。

(2) $x^2+y^2<13$ より $a^2+4<13$、すなわち $a^2<9$。よって $-3<a<3$。

(1)と(2)の共通部分をとると $1<a<3$。

検算:
- $a=2$ のとき、$2<3$ で成り立ち、$4+4=8<13$ も成り立つ。よって $D$ に含まれる。
- $a=1$ のとき、$2<2$ は成り立たない。
- $a=3$ のとき、$9+4=13$ で $13<13$ は成り立たない。

よって端点は含まれず、答えは $1<a<3$。