図形と方程式の問題

条件を 2 つの不等式に分ける

条件は、$0\leqq x\leqq 1$ のすべての $x$ で
$$x^2-\frac{1}{4}\leqq ax+b\leqq x^2+\frac{1}{4}$$
が成り立つこと、すなわち「区間 $0\leqq x\leqq 1$ で、直線 $y=ax+b$ が 2 つの放物線 $y=x^2-\frac{1}{4}$ と $y=x^2+\frac{1}{4}$ のあいだにある」ことである。これを、点 $(a,b)$ についての条件（$ab$ 平面の領域）に言い換える。

(i) 左側の不等式 $ax+b\geqq x^2-\frac{1}{4}$

$h(x)=x^2-ax-b-\frac{1}{4}$ は下に凸な 2 次関数なので、区間 $0\leqq x\leqq 1$ での最大値は両端 $x=0,1$ のどちらかでとる。よって、区間全体で $h(x)\leqq 0$ となる条件は $h(0)\leqq 0$ かつ $h(1)\leqq 0$、すなわち
$$b\geqq -\frac{1}{4},b\geqq \frac{3}{4}-a$$
である。

(ii) 右側の不等式 $ax+b\leqq x^2+\frac{1}{4}$

$k(x)=x^2-ax-b+\frac{1}{4}={\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2-\frac{a^2}{4}-b+\frac{1}{4}$ の区間 $0\leqq x\leqq 1$ での最小値が $0$ 以上となる条件を、軸 $x=\frac{a}{2}$ の位置で分けて求める。

• $a<0$ のとき: 最小値は $k(0)$ で、条件は $b\leqq \frac{1}{4}$
• $0\leqq a\leqq 2$ のとき: 最小値は $k\left(\frac{a}{2}\right)$ で、条件は $b\leqq \frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}$
• $a>2$ のとき: 最小値は $k(1)$ で、条件は $b\leqq \frac{5}{4}-a$

(i), (ii) を同時に満たす $(a,b)$ が存在する $a$ の範囲

$a$ を固定したとき、(i) は $b\geqq L(a)$、(ii) は $b\leqq U(a)$ の形であり、条件を満たす $b$ が存在するのは $L(a)\leqq U(a)$ のときである。ここで $L(a)$ は $-\frac{1}{4}$ と $\frac{3}{4}-a$ の大きい方で、$a\leqq 1$ のとき $\frac{3}{4}-a$、$a\geqq 1$ のとき $-\frac{1}{4}$ である。

• $a<0$ のとき: $\frac{3}{4}-a>\frac{3}{4}>\frac{1}{4}=U(a)$ となり、不適。
• $0\leqq a\leqq 1$ のとき: $\frac{3}{4}-a\leqq \frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}$ より $a^2-4a+2\leqq 0$、すなわち $2-\sqrt{2}\leqq a\leqq 2+\sqrt{2}$。$0\leqq a\leqq 1$ と合わせて $2-\sqrt{2}\leqq a\leqq 1$。
• $1\leqq a\leqq 2$ のとき: $-\frac{1}{4}\leqq \frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}$ より $a^2\leqq 2$。$1\leqq a\leqq 2$ と合わせて $1\leqq a\leqq \sqrt{2}$。
• $a>2$ のとき: $-\frac{1}{4}\leqq \frac{5}{4}-a$ より $a\leqq \frac{3}{2}$ となり、$a>2$ と合わないので不適。

よって、条件を満たす点 $(a,b)$ の領域の $a$ の範囲は $2-\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{2}$ であり、$a$ の最大値は $\sqrt{2}$、最小値は $2-\sqrt{2}$ である。

確認

• $a=\sqrt{2},b=-\frac{1}{4}$ のとき、$x^2-\sqrt{2}x+\frac{1}{4}={\left(x-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$ は $0\leqq x\leqq 1$ で最小値 $-\frac{1}{4}$、最大値 $\frac{1}{4}$（$x=0$）をとり、条件を満たす。
• $a=2-\sqrt{2},b=\sqrt{2}-\frac{5}{4}$ のとき、$x^2-ax-b$ は $x=\frac{a}{2}$ で最小値 $-\frac{a^2}{4}-b=-\frac{6-4\sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}+\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$、$x=0$ で $\frac{5}{4}-\sqrt{2}<\frac{1}{4}$、$x=1$ で $1-a-b=\frac{1}{4}$ となり、条件を満たす。

答えは $\left(\sqrt{2},2-\sqrt{2}\right)$。

$f(x)=x^2-ax-b$ とおく。$f(0)=-b$、$f(1)=1-a-b$ で、$f(x)={\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2-\frac{a^2}{4}-b$。\n$a<0$ または $a>2$ のとき、$f$ は $0\le x\le 1$ で単調なので $|f(0)-f(1)|=|a-1|\le \frac{1}{2}$ が必要となり、$\frac{1}{2}\le a\le \frac{3}{2}$ に反する。よって $0\le a\le 2$ で、軸 $x=\frac{a}{2}$ が区間内にある。\n$f$ の区間内での最大値は $\max \{f(0),f(1)\}$、最小値は $f\left(\frac{a}{2}\right)=-\frac{a^2}{4}-b$ なので、条件は\n$|b|\le \frac{1}{4}$, $|1-a-b|\le \frac{1}{4}$, $\left|\frac{a^2}{4}+b\right|\le \frac{1}{4}$\nと同値。\nすなわち $-\frac{1}{4}\le b\le \frac{1}{4}$、$\frac{3}{4}-a\le b\le \frac{5}{4}-a$、$-\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}\le b\le \frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}$。\n$b$ が存在する条件は、下限の最大値 $\le$ 上限の最小値。\n(i) $\frac{3}{4}-a\le \frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}$ より $a^2-4a+2\le 0$、$2-\sqrt{2}\le a\le 2+\sqrt{2}$。\n(ii) $-\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}$ より $a^2\le 2$、$-\sqrt{2}\le a\le \sqrt{2}$。\n(iii) $\frac{3}{4}-a\le \frac{1}{4}$ より $a\ge \frac{1}{2}$。$-\frac{1}{4}\le \frac{5}{4}-a$ より $a\le \frac{3}{2}$。\n(iv) $-\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}\le \frac{5}{4}-a$ より $a^2-4a+6\ge 0$ は常に成立。$-\frac{1}{4}-\frac{a^2}{4}\le \frac{1}{4}$ も常に成立。\nこれらと $0\le a\le 2$ を合わせて $2-\sqrt{2}\le a\le \sqrt{2}$（$2-\sqrt{2}\approx 0.586>\frac{1}{2}$、$\sqrt{2}\approx 1.414<\frac{3}{2}$）。\n検算: $a=\sqrt{2}$ のとき $b=-\frac{1}{4}$ で $f(0)=\frac{1}{4}$、$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}\cdot 1\cdot$ より $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$、$f(1)=\frac{5}{4}-\sqrt{2}\approx -0.164$ で条件を満たす。$a=2-\sqrt{2}$ のとき $b=\sqrt{2}-\frac{5}{4}$ で $f(0)=\frac{5}{4}-\sqrt{2}\approx 0.164$、$f(1)=1-(2-\sqrt{2})-\sqrt{2}+\frac{5}{4}=\frac{1}{4}$、最小値 $-\frac{(2-\sqrt{2}{)}^2}{4}-b=-\frac{6-4\sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}+\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$ で条件を満たす。\nよって最大値 $\sqrt{2}$、最小値 $2-\sqrt{2}$。