図形と方程式の問題

三角形の頂点を求める。

• ${\ell }_1$ と ${\ell }_2$ の交点：$y=0$ を $12x-5y=0$ に代入すると $x=0$ である。よって交点は $\mathrm{O}(0,0)$。
• ${\ell }_1$ と ${\ell }_3$ の交点：$y=0$ を $4x+3y-56=0$ に代入すると $x=14$ である。よって交点は $\mathrm{B}(14,0)$。
• ${\ell }_2$ と ${\ell }_3$ の交点：${\ell }_2$ より $y=\frac{12}{5}x$ である。これを ${\ell }_3$ に代入すると $4x+\frac{36}{5}x=56$、つまり $\frac{56}{5}x=56$ となり、$x=5,y=12$。よって交点は $\mathrm{A}(5,12)$。

内部の点が満たす不等式を調べる。

内心を $\mathrm{I}(p,q)$ とする。$\mathrm{I}$ は三角形の内部にあるから、各辺について、その辺上にない頂点と同じ側にある。

• ${\ell }_1$ について：$\mathrm{A}$ は $y=12>0$ の側にあるので、$q>0$。
• ${\ell }_2$ について：$\mathrm{B}$ では $12\cdot 14-5\cdot 0=168>0$ なので、$12p-5q>0$。
• ${\ell }_3$ について：$\mathrm{O}$ では $4\cdot 0+3\cdot 0-56=-56<0$ なので、$4p+3q-56<0$。

内心から 3 辺までの距離が等しいことを使う。

点と直線の距離の公式と上の符号から、各距離は次のようになる。
$$\text{(}{\ell }_1\text{まで)}=q,\text{(}{\ell }_2\text{まで)}=\frac{|12p-5q|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{12p-5q}{13},$$
$$\text{(}{\ell }_3\text{まで)}=\frac{|4p+3q-56|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{56-4p-3q}{5}$$

これらが等しいので、
$$q=\frac{12p-5q}{13}\cdots (1),q=\frac{56-4p-3q}{5}\cdots (2)$$

$(1)$ より $13q=12p-5q$、つまり $18q=12p$ となり、$p=\frac{3}{2}q$。

$(2)$ より $5q=56-4p-3q$、つまり $4p+8q=56$。これに $p=\frac{3}{2}q$ を代入すると $6q+8q=56$ となり、$q=4$。したがって $p=6$。

確認する。

$q=4>0$、$12\cdot 6-5\cdot 4=52>0$、$4\cdot 6+3\cdot 4-56=-20<0$ であり、3 つの不等式をすべて満たす。距離はどれも $4$（内接円の半径）である。

別の確かめ方もある。辺の長さは $\mathrm{OA}=13$、$\mathrm{OB}=14$、$\mathrm{AB}=\sqrt{81+144}=15$ である。面積は $\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12=84$ なので、内接円の半径を $r$ とすると $r=\frac{2\cdot 84}{13+14+15}=4$ となり、一致する。

よって内接円の中心は $(6,4)$ である。

3直線の交点を求める。${\ell }_1,{\ell }_2$ の交点は $(0,0)$、${\ell }_1,{\ell }_3$ の交点は $(14,0)$、${\ell }_2,{\ell }_3$ の交点は $y=\frac{12}{5}x$ を ${\ell }_3$ に代入して $4x+\frac{36}{5}x=56$ より $x=5,y=12$ で、$(5,12)$ である。

そこで $A(0,0),B(14,0),C(5,12)$ とおくと、$BC=15,CA=13,AB=14$ である。内心は各頂点の対辺の長さを重みとする重心なので、
$x=\frac{15\cdot 0+13\cdot 14+14\cdot 5}{42}=\frac{252}{42}=6$、
$y=\frac{15\cdot 0+13\cdot 0+14\cdot 12}{42}=4$。

検算：面積は $\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 12=84$、$s=21$ なので $r=84/21=4$。点 $(6,4)$ から ${\ell }_1$ までの距離は $4$。${\ell }_2$ までは $\frac{|72-20|}{13}=4$。${\ell }_3$ までは $\frac{|24+12-56|}{5}=4$。いずれも $4$ で一致する。また $(6,4)$ は三角形の内部にある。

よって内心は $(6,4)$。