図形と方程式の問題

点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(X,Y)$ とおく。点 $\mathrm{Q}(X,Y)$ が動く範囲に含まれる条件は、
$$x+y=X,xy=Y,x^2+y^2\leqq 1$$
を満たす実数 $x,y$ が存在することである。

実数 $x,y$ が存在する条件

$x+y=X,xy=Y$ を満たす $x,y$ は、$u$ についての 2 次方程式
$$u^2-Xu+Y=0$$
の 2 つの解である（解と係数の関係）。したがって、$x,y$ がともに実数となる条件は、この方程式の判別式 $D$ について $D\geqq 0$、すなわち
$$X^2-4Y\geqq 0⟺Y\leqq \frac{X^2}{4}(1)$$
である。

$x^2+y^2\leqq 1$ の条件

$$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=X^2-2Y$$
なので、$x^2+y^2\leqq 1$ は
$$X^2-2Y\leqq 1⟺Y\geqq \frac{X^2-1}{2}(2)$$
となる。

以上より、点 $\mathrm{Q}$ が動く範囲は $(1)$ と $(2)$ を同時に満たす領域
$$\frac{X^2-1}{2}\leqq Y\leqq \frac{X^2}{4}$$
である。

面積の計算

2 つの放物線 $Y=\frac{X^2}{4}$ と $Y=\frac{X^2-1}{2}$ の交点の $X$ 座標は
$$\frac{X^2}{4}=\frac{X^2-1}{2}⟺X^2=2X^2-2⟺X^2=2$$
より $X=\pm \sqrt{2}$ である。$-\sqrt{2}\leqq X\leqq \sqrt{2}$ では
$$\frac{X^2}{4}-\frac{X^2-1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{X^2}{4}=\frac{2-X^2}{4}\geqq 0$$
だから、求める面積 $S$ は
$$S={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{X^2}{4}\right)dX=2{\int }_0^{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}-\frac{X^2}{4}\right)dX=2{\left[\frac{X}{2}-\frac{X^3}{12}\right]}_0^{\sqrt{2}}$$
$$=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{12}\right)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

よって、求める面積は $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ である。

$X=x+y,Y=xy$ とおく。点 $(X,Y)$ が取りうる範囲を求める。

実数 $x,y$ が存在する条件は、$t$ の 2 次方程式 $t^2-Xt+Y=0$ が実数解をもつこと、すなわち判別式 $X^2-4Y\ge 0$、つまり $Y\le \frac{X^2}{4}$。

また $x^2+y^2\le 1$ は $x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=X^2-2Y$ より $X^2-2Y\le 1$、つまり $Y\ge \frac{X^2-1}{2}$。

よって $Q$ の動く範囲は
$$\frac{X^2-1}{2}\le Y\le \frac{X^2}{4}.$$
2 つの放物線の交点は $\frac{X^2-1}{2}=\frac{X^2}{4}$ より $X^2=4$、$X=\pm 2$。$-2\le X\le 2$ で $\frac{X^2}{4}\ge \frac{X^2-1}{2}$ （差は $\frac{1}{2}-\frac{X^2}{4}\ge 0$）。

面積は
$$S={\int }_{-2}^2\left(\frac{1}{2}-\frac{X^2}{4}\right)dX=2{\int }_0^2\left(\frac{1}{2}-\frac{X^2}{4}\right)dX=2{\left[\frac{X}{2}-\frac{X^3}{12}\right]}_0^2=2\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}.$$

検算: 放物線 $Y=-\frac{1}{4}{X}^2+\frac{1}{2}$ と $x$ 軸ではなく、差の関数 $\frac{1}{4}(4-X^2)$ の積分で、公式 $\frac{1}{6}|a|(\beta -\alpha {)}^3$ に $a=\frac{1}{4},\beta -\alpha =4$ を入れると $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot 64=\frac{8}{3}$ ... ここで差の関数は $-\frac{1}{4}{X}^2+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(X-2)(X+2)$ なので係数は $\frac{1}{4}$ ではなく、$\frac{1}{4}\cdot \frac{4^3}{6}=\frac{16}{6}\cdot \frac{1}{2}$ と整理すると $\frac{64}{24}=\frac{8}{3}$ となり、一致しない。そこで積分を再確認する。$-\frac{1}{4}(X^2-4)\cdot$ ではなく差は $\frac{1}{2}-\frac{X^2}{4}=\frac{1}{4}(2-X^2)$ とは限らない。実際 $\frac{1}{2}-\frac{X^2}{4}=\frac{2-X^2}{4}$ で、$X=\pm 2$ では $\frac{2-4}{4}=-\frac{1}{2}\ne 0$ となってしまう。

差を整理し直す。$\frac{X^2}{4}-\frac{X^2-1}{2}=\frac{X^2-2X^2+2}{4}=\frac{2-X^2}{4}$。したがって交点は $X^2=2$ ではなく、上の連立 $\frac{X^2-1}{2}=\frac{X^2}{4}$ は $2X^2-2=X^2$ より $X^2=2$、$X=\pm \sqrt{2}$ が正しい。

（訂正）交点は $X=\pm \sqrt{2}$、範囲は $-\sqrt{2}\le X\le \sqrt{2}$ で $\frac{X^2-1}{2}\le Y\le \frac{X^2}{4}$。面積は
$$S={\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\frac{2-X^2}{4}dX=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^3\cdot 1=\frac{1}{4}\cdot \frac{16\sqrt{2}}{6}\cdot$$
直接計算すると ${\int }_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\frac{2-X^2}{4}dX=\frac{1}{2}{\int }_0^{\sqrt{2}}\frac{2-X^2}{2}\cdot 2dX...$ より、$=2{\left[\frac{X}{2}-\frac{X^3}{12}\right]}_0^{\sqrt{2}}=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{12}\right)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

さらに、この範囲の外でも判別式の条件と円の条件が両立するかを確認する。$|X|>\sqrt{2}$ では $\frac{X^2-1}{2}>\frac{X^2}{4}$ となり範囲は空。よって面積は $\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

検算: 公式 $\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$ で $a=-\frac{1}{4}$、$\beta -\alpha =2\sqrt{2}$、$(2\sqrt{2}{)}^3=16\sqrt{2}$ より $\frac{1}{4}\cdot \frac{16\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。一致する。