線形代数の問題

手順 1：2 次形式を対称行列で表す。
$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ とおくと、$xy$ の係数 $4$ を半分ずつ非対角成分に分けて
$$5x^2+4xy+2y^2={}^t\mathbf{x}A\mathbf{x},A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$$
と書ける。$A$ は実対称行列である。

手順 2：$A$ の固有値を求める。
$$\det (A-\lambda E)=(5-\lambda )(2-\lambda )-4={\lambda }^2-7\lambda +6=(\lambda -1)(\lambda -6)$$
より、固有値は $\lambda =6,1$ である。

手順 3：正規直交な固有ベクトルで直交行列をつくる。
$\lambda =6$ のとき $(A-6E)\mathbf{v}=0$ は $-x+2y=0$ なので、単位固有ベクトルとして ${\mathbf{u}}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ がとれる。
$\lambda =1$ のとき $(A-E)\mathbf{v}=0$ は $4x+2y=0$ なので、${\mathbf{u}}_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$ がとれる。
${\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_2=\frac{1}{5}(-2+2)=0$ で直交している。
$P=({\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_2)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 2\end{array}\right)$ は直交行列で $\det P=1$ なので回転を表し、${}^{t}PAP=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ となる。

手順 4：標準形に直す。
$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$ と変数変換すると
$${}^t\mathbf{x}A\mathbf{x}={}^t\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)({}^{t}PAP)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=6X^2+Y^2$$
となる。これが標準形である。係数（固有値）$6,1$ がともに正なので、この 2 次形式は正定値であり、曲線は楕円になる。

手順 5：楕円の形を読み取る。
$C$ は $6X^2+Y^2=6$、すなわち
$$\frac{X^2}{1}+\frac{Y^2}{6}=1$$
となる。$P$ は回転なので長さは変わらない。よって長半径は $\sqrt{6}$（${\mathbf{u}}_2$ の方向）、短半径は $1$（${\mathbf{u}}_1$ の方向）である。

答え：$(\sqrt{6},1)$

2 次形式の行列は $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$ である。特性方程式は ${\lambda }^2-7\lambda +(10-4)={\lambda }^2-7\lambda +6=0$ なので、$\lambda =1,6$ となる。したがって回転後の座標 $(u,v)$ で $C$ は $u^2+6v^2=6$、すなわち $\frac{u^2}{6}+\frac{v^2}{1}=1$ と書ける。よって半径は $\sqrt{6}$ と $1$ で、長半径は $\sqrt{6}$、短半径は $1$ である。

検算: 固有値 1 の固有ベクトルは $(1,-2)/\sqrt{5}$ である。この方向では $x=t/\sqrt{5},y=-2t/\sqrt{5}$ とすると、$5x^2+4xy+2y^2=(5-8+8)t^2/5=t^2$ となる。これが 6 に等しいので $t=\sqrt{6}$ で、長半径 $\sqrt{6}$ と一致する。固有値 6 の固有ベクトル $(2,1)/\sqrt{5}$ では $(20+8+2)/5=6$ となり、$t=1$ で短半径 1 と一致する。また $\det A=6$、トレース $7$ とも合う。