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線形代数の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学線形代数

実数を成分とする $4$ 次正方行列全体のなす $16$ 次元の実線形空間を $V = M_{4} (R)$ とする。 $V$ 上の 2 次形式 $Q$ を
$Q (X) = tr (X^{2}) - (tr X)^{2} (X \in V)$
で定める。 $Q$ の符号（シグネチャ）を $(p, q)$ とする。ここで $p$ は $Q$ の標準形に現れる正の係数の個数、 $q$ は負の係数の個数である。組 $(p, q)$ を求めよ。

この問題で使うもの

2 次形式の標準形と符号（説明と入口の問題）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（説明と入口の問題）
固有値と固有ベクトル（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$V$ を、トレース $0$ の対称行列・単位行列の実数倍・交代行列の 3 つの部分空間の直和に分けて、それぞれの上で $Q$ の値を調べてみましょう。

ヒント 2

$S$ が対称なら $tr (S^{2}) = \sum s_{ij}^{2} \geq 0$ 、 $K$ が交代なら $tr (K^{2}) = - \sum k_{ij}^{2} \leq 0$ 、また $tr (S K) = 0$ が成り立ちます。

ヒント 3

$X = S + s E + K$ と分解すると $Q (X) = \sum s_{ij}^{2} - 12 s^{2} - \sum k_{ij}^{2}$ となります。あとは各部分空間の次元を数えましょう。

答えと解説

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(9, 7)

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解説を読む

$V$ の部分空間を次のように分ける。
- $S_{0}$ : 対称行列でトレースが $0$ のもの全体。 $dim S_{0} = \frac{4 \cdot 5}{2} - 1 = 9$
- $A$ : 交代行列（ $X^{T} = - X$ ）全体。 $dim A = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$
- $R E$ : 単位行列 $E$ の実数倍全体。次元 $1$

任意の $X \in V$ は対称部分 $\frac{X + X ^{T}}{2}$ と交代部分 $\frac{X - X ^{T}}{2}$ に一意に分解でき、さらに対称部分は $S_{0}$ の元と $E$ の実数倍に一意に分解できるので
$V = S_{0} \oplus R E \oplus A, 9 + 1 + 6 = 16$
である。

$X = S + s E + K$ （ $S \in S_{0}$ , $s \in R$ , $K \in A$ ）と書いて $Q (X)$ を計算する。

まず $tr (X^{2})$ を展開すると
$tr (X^{2}) = tr (S^{2}) + s^{2} tr E + tr (K^{2}) + 2 s tr S + 2 s tr K + 2 tr (S K) .$
ここで $tr S = 0$ 、交代行列の対角成分は $0$ なので $tr K = 0$ 。また
$tr (S K) = tr ((S K)^{T}) = tr (K^{T} S^{T}) = - tr (K S) = - tr (S K)$
より $tr (S K) = 0$ 。さらに $S$ が対称なら $tr (S^{2}) = tr (S S^{T}) = \sum_{i, j} s_{ij}^{2}$ 、 $K$ が交代なら $tr (K^{2}) = - tr (K K^{T}) = - \sum_{i, j} k_{ij}^{2}$ である。よって
$tr (X^{2}) = i, j \sum s_{ij}^{2} + 4 s^{2} - i, j \sum k_{ij}^{2} .$
一方 $tr X = 4 s$ なので $(tr X)^{2} = 16 s^{2}$ 。したがって
$Q (X) = i, j \sum s_{ij}^{2} - 12 s^{2} - i, j \sum k_{ij}^{2} .$

これより、 $Q$ は $S_{0}$ 上で正定値（ $9$ 次元）、 $R E$ 上で負定値（ $Q (s E) = - 12 s^{2}$ ）、 $A$ 上で負定値（ $6$ 次元）であり、これら 3 つの部分空間は互いに $Q$ の定める対称双線形形式について直交している（上の展開で交差項がすべて消えた）。各部分空間で正規直交基底をとって並べれば、 $Q$ の標準形は正の係数 $9$ 個、負の係数 $1 + 6 = 7$ 個となる。シルベスターの慣性法則により符号は基底の取り方によらないので
$(p, q) = (9, 7) .$

別解

$V$ を対称行列の空間 $S$ （次元 $10$ ）と交代行列の空間 $K$ （次元 $6$ ）に直和分解する： $X = S + K$ 。

$tr X = tr S$ （交代行列のトレースは $0$ ）。また $tr (X^{2}) = tr (S^{2}) + 2 tr (S K) + tr (K^{2})$ で、 $tr (S K) = 0$ （対称と交代の積のトレースは 0）。よって $Q (X) = Q (S) + tr (K^{2})$ と直交分解される。

$K$ 上: $tr (K^{2}) = - \sum_{i, j} k_{ij}^{2} = - 2 \sum_{i < j} k_{ij}^{2}$ で負定値。負の係数 $6$ 個。
$S$ 上: $tr (S^{2}) = \sum_{i} s_{ii}^{2} + 2 \sum_{i < j} s_{ij}^{2}$ 。非対角 $6$ 個の部分は $2 \sum_{i < j} s_{ij}^{2}$ で正定値（正 $6$ 個）で、トレースにも寄与しない。対角部分は $\sum d_{i}^{2} - (\sum d_{i})^{2} = d^{T} (I - J) d$ （ $J$ は全成分 1 の $4$ 次行列）。 $J$ の固有値は $4, 0, 0, 0$ なので $I - J$ の固有値は $- 3, 1, 1, 1$ 。正 $3$ 個、負 $1$ 個。

合計: $p = 6 + 3 = 9, q = 6 + 1 = 7$ （ $p + q = 16$ で退化なし）。

検算: $X = E_{11}$ で $Q = 1 - 1 = 0$ の零ベクトルのような値があるが、これは $(I - J)$ の固有値が正負混在する不定値形式であることと矛盾しない。 $X = I$ では $Q = 4 - 16 = - 12 < 0$ 、 $X = E_{12} + E_{21}$ では $Q = 2 > 0$ 。符号 $(9, 7)$ 。

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