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線形代数の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学線形代数

実数係数の $x$ の多項式で次数が $3$ 以下のもの全体のなす実線形空間に、内積
$⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{\infty} f (x) g (x) e^{- x} d x$
を考える。実数 $a, b, c$ を動かすとき
$\int_{0}^{\infty} (x^{3} - a x^{2} - b x - c)^{2} e^{- x} d x$
の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

内積空間とグラム・シュミットの直交化（説明と入口の問題）
直交射影と最小二乗法（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
掃き出し法と連立 1 次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

積分は $x^{3}$ と $a x^{2} + b x + c$ の距離の 2 乗です。最小になるのは $a x^{2} + b x + c$ が $x^{3}$ の部分空間 $span {1, x, x^{2}}$ への直交射影のときです。

ヒント 2

部分積分で $\int_{0}^{\infty} x^{k} e^{- x} d x = k!$ を示しておくと、 $⟨ x^{m}, x^{k} ⟩ = (m + k)!$ と計算できます。

ヒント 3

残差 $x^{3} - a x^{2} - b x - c$ が $1, x, x^{2}$ と直交する条件は $6 - 2 a - b - c = 0, 24 - 6 a - 2 b - c = 0, 120 - 24 a - 6 b - 2 c = 0$ です。これを解いて、残差と $x^{3}$ の内積を計算しましょう。

答えと解説

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解説を読む

準備　部分積分により、0 以上の整数 $k$ に対して
$\int_{0}^{\infty} x^{k} e^{- x} d x = k!$
（ $k \geq 1$ のとき $\int_{0}^{\infty} x^{k} e^{- x} d x = [- x^{k} e^{- x}]_{0}^{\infty} + k \int_{0}^{\infty} x^{k - 1} e^{- x} d x = k \int_{0}^{\infty} x^{k - 1} e^{- x} d x$ を繰り返し、 $\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1$ を使う）。よって $⟨ x^{m}, x^{k} ⟩ = (m + k)!$ 。

直交射影　求める積分は $∥ x^{3} - (a x^{2} + b x + c) ∥^{2}$ であり、 $a x^{2} + b x + c$ は部分空間 $W = span {1, x, x^{2}}$ を動く。これが最小になるのは、 $a x^{2} + b x + c$ が $x^{3}$ の $W$ への直交射影のとき、すなわち $r = x^{3} - a x^{2} - b x - c$ が $1, x, x^{2}$ のすべてと直交するときである。

$⟨ r, 1 ⟩ = 0$ : $3! - 2! a - 1! b - 0! c = 0$ より $6 - 2 a - b - c = 0$

$⟨ r, x ⟩ = 0$ : $4! - 3! a - 2! b - 1! c = 0$ より $24 - 6 a - 2 b - c = 0$

$⟨ r, x^{2} ⟩ = 0$ : $5! - 4! a - 3! b - 2! c = 0$ より $120 - 24 a - 6 b - 2 c = 0$

第 2 式から第 1 式を引くと $18 - 4 a - b = 0$ 。第 3 式から第 1 式の 2 倍を引くと $108 - 20 a - 4 b = 0$ 、すなわち $27 - 5 a - b = 0$ 。この 2 式の差から $9 - a = 0$ で $a = 9$ 、 $b = 18 - 36 = - 18$ 、 $c = 6 - 18 + 18 = 6$ 。

よって $r = x^{3} - 9 x^{2} + 18 x - 6$ 。

最小値　 $r ⊥ W$ で $a x^{2} + b x + c \in W$ だから $∥ r ∥^{2} = ⟨ r, x^{3} - (a x^{2} + b x + c)⟩ = ⟨ r, x^{3} ⟩$ 。
$⟨ r, x^{3} ⟩ = 6! - 9 \cdot 5! + 18 \cdot 4! - 6 \cdot 3! = 720 - 1080 + 432 - 36 = 36$

したがって最小値は $36$ 。

別解

$\int_{0}^{\infty} (x^{3} - a x^{2} - b x - c)^{2} e^{- x} d x = ∥ x^{3} - p ∥^{2}$ （ $p = a x^{2} + b x + c$ は次数 2 以下の多項式全体 $W$ の元）。これを最小にするのは $p$ が $x^{3}$ の $W$ への直交射影のときで、最小値は $x^{3}$ から $W$ への距離の 2 乗。

$x^{3} - p$ は 3 次のモニックな多項式で、 $W$ （次数 2 以下の多項式全体）と直交する。この条件を満たす 3 次モニック多項式は、重み $e^{- x}$ の直交多項式（ラゲール多項式）をモニックにしたものである。ラゲール多項式 $L_{3} (x) = \frac{1}{6} (- x^{3} + 9 x^{2} - 18 x + 6)$ で $∥ L_{3} ∥ = 1$ なので、モニック化 $q_{3} = (- 1)^{3} \cdot 3! L_{3} = x^{3} - 9 x^{2} + 18 x - 6$ をとる。 $∥ q_{3} ∥^{2} = (3!)^{2} ∥ L_{3} ∥^{2} = 36$ 。

直接の確かめ: $q_{3} = x^{3} - 9 x^{2} + 18 x - 6$ が $1, x, x^{2}$ と直交することを、 $\int_{0}^{\infty} x^{k} e^{- x} d x = k!$ を使って調べる。
$⟨ q_{3}, 1 ⟩ = 3! - 9 \cdot 2! + 18 \cdot 1! - 6 = 6 - 18 + 18 - 6 = 0$
$⟨ q_{3}, x ⟩ = 4! - 9 \cdot 3! + 18 \cdot 2! - 6 \cdot 1 = 24 - 54 + 36 - 6 = 0$
$⟨ q_{3}, x^{2} ⟩ = 5! - 9 \cdot 4! + 18 \cdot 3! - 6 \cdot 2 = 120 - 216 + 108 - 12 = 0$
よって $q_{3} ⊥ W$ 。

最小値 $= ⟨ q_{3}, q_{3} ⟩ = ⟨ q_{3}, x^{3} ⟩$ （ $W$ との内積は 0 なので） $= 6! - 9 \cdot 5! + 18 \cdot 4! - 6 \cdot 3! = 720 - 1080 + 432 - 36 = 36$ 。

このとき $a = 9, b = - 18, c = 6$ 。最小値は 36。

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