線形代数の問題

実数係数の $x$ の多項式で次数が $1$ 以下のもの全体のなす実線形空間 $V$ に、内積
$$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$$
を考え、ノルムを $\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}$ と定める。$V$ の基底 $f_1(x)=1,f_2(x)=x$ に、この順にグラム・シュミットの直交化
$$e_1=\frac{f_1}{\Vert f_1\Vert },e_2=\frac{f_2-⟨f_2,e_1⟩e_1}{\Vert f_2-⟨f_2,e_1⟩e_1\Vert }$$
を行って、正規直交基底 $e_1,e_2$ を作る。このとき $e_2(1)$ の値を求めよ。

実数係数の $x$ の多項式で次数が $2$ 以下のもの全体のなす実線形空間を $V$ とし、$V$ に内積
$$⟨f,g⟩={\int }_{-1}^{1}f(x)g(x)dx$$
を考える。ノルムは $\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}$ とする。

$V$ の基底 $1,x,x^2$ にこの順でグラム・シュミットの直交化（正規化はしない）を行い、直交基底 $g_1,g_2,g_3$ を
$$g_1=1,g_2=x-\frac{⟨x,g_1⟩}{⟨g_1,g_1⟩}{g}_1,g_3=x^2-\frac{⟨x^2,g_1⟩}{⟨g_1,g_1⟩}{g}_1-\frac{⟨x^2,g_2⟩}{⟨g_2,g_2⟩}{g}_2$$
で定める。$\Vert g_3\Vert$ の値を求めよ。

実数係数の $x$ の多項式で次数が $3$ 以下のもの全体のなす実線形空間に、内積
$$⟨f,g⟩={\int }_0^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}dx$$
を考える。実数 $a,b,c$ を動かすとき
$${\int }_0^{\infty }{\left(x^3-a{x}^2-bx-c\right)}^2{e}^{-x}dx$$
の最小値を求めよ。

実数係数で次数が $3$ 以下の $x$ の多項式全体のなす実線形空間を $V$ とする。線形写像 $f:V\to {\mathbb{R}}^3$ を
$$f(p)=\left(\begin{array}{c}p(0)\\ p(1)\\ p(-1)\end{array}\right)$$
で定める。$\dim \ker f$ と $\dim \mathrm{Im}f$ をこの順に求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の列ベクトル $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$, $\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$ に対して
$$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=2x_1{y}_1+x_2{y}_2$$
と定めると、これは ${\mathbb{R}}^2$ の内積になる。ノルムを $\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩}$ とする。この内積に関して、基底
$${\mathbf{a}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$
に ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2$ の順でグラム・シュミットの直交化を行って正規直交基底 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2$ を作る。${\mathbf{e}}_2$ の第 1 成分と第 2 成分をこの順に組で求めよ。