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線形代数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学線形代数

実数係数の $x$ の多項式で次数が $2$ 以下のもの全体のなす実線形空間を $V$ とし、 $V$ に内積
$⟨ f, g ⟩ = \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) d x$
を考える。ノルムは $∥ f ∥ = ⟨ f, f ⟩$ とする。

$V$ の基底 $1, x, x^{2}$ にこの順でグラム・シュミットの直交化（正規化はしない）を行い、直交基底 $g_{1}, g_{2}, g_{3}$ を
$g_{1} = 1, g_{2} = x - \frac{⟨ x , g _{1} ⟩}{⟨ g _{1} , g _{1} ⟩} g_{1}, g_{3} = x^{2} - \frac{⟨ x ^{2} , g _{1} ⟩}{⟨ g _{1} , g _{1} ⟩} g_{1} - \frac{⟨ x ^{2} , g _{2} ⟩}{⟨ g _{2} , g _{2} ⟩} g_{2}$
で定める。 $∥ g_{3} ∥$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

内積空間とグラム・シュミットの直交化（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（37 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

グラム・シュミットの直交化を、関数の内積 $\int_{- 1}^{1} f g d x$ で行います。まず $g_{2}$ 、次に $g_{3}$ を順に求め、最後にノルムを計算します。

ヒント 2

区間 $[- 1, 1]$ では奇関数の積分が $0$ になるので、 $⟨ x, 1 ⟩ = 0$ 、 $⟨ x^{2}, x ⟩ = 0$ です。必要なのは $⟨ 1, 1 ⟩ = 2$ と $⟨ x^{2}, 1 ⟩ = \frac{2}{3}$ です。

ヒント 3

$g_{2} = x$ 、 $g_{3} = x^{2} - \frac{1}{3}$ となります。あとは $∥ g_{3} ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3})^{2} d x$ を計算して平方根をとります。

答えと解説

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\frac{2 10}{15}

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解説を読む

手順 1: $g_{2}$ を求める。
$⟨ x, g_{1} ⟩ = \int_{- 1}^{1} x d x = 0$
（奇関数を対称な区間で積分すると $0$ ）なので、 $g_{2} = x$ である。

手順 2: $g_{3}$ の係数を求めるのに必要な内積を計算する。
$⟨ g_{1}, g_{1} ⟩ = \int_{- 1}^{1} 1 d x = 2, ⟨ x^{2}, g_{1} ⟩ = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{2}{3},$
$⟨ x^{2}, g_{2} ⟩ = \int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0.$

手順 3: $g_{3}$ を求める。
$g_{3} = x^{2} - \frac{2/3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot x = x^{2} - \frac{1}{3} .$
実際、 $⟨ g_{3}, 1 ⟩ = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2 = 0$ 、 $⟨ g_{3}, x ⟩ = \int_{- 1}^{1} (x^{3} - \frac{x}{3}) d x = 0$ となり、 $g_{1}, g_{2}$ と直交している。

手順 4: ノルムを計算する。
$∥ g_{3} ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3})^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (x^{4} - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{9}) d x = \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{9} \cdot 2 = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{8}{45} .$
したがって
$∥ g_{3} ∥ = \frac{8}{45} = \frac{2 2}{3 5} = \frac{2 10}{15} .$

別解

$⟨ x, 1 ⟩ = \int_{- 1}^{1} x d x = 0$ なので $g_{2} = x$ 。 $⟨ x^{2}, g_{1} ⟩ = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{2}{3}$ 、 $⟨ g_{1}, g_{1} ⟩ = 2$ 。 $⟨ x^{2}, g_{2} ⟩ = \int_{- 1}^{1} x^{3} d x = 0$ 。よって $g_{3} = x^{2} - \frac{1}{3}$ 。

$∥ g_{3} ∥^{2} = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3})^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (x^{4} - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{9}) d x = \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{2}{5} - \frac{2}{9} = \frac{18 - 10}{45} = \frac{8}{45}$ 。

ゆえに $∥ g_{3} ∥ = 8/45 = \frac{2 2}{3 5} = \frac{2 10}{15}$ 。

検算: 二乗すると $\frac{40}{225} = \frac{8}{45}$ で一致。また $⟨ g_{3}, 1 ⟩ = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$ で直交している。

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