結び目理論の問題

種数. まず $V-V^T$ を計算すると、$(1,2)$ 成分が $1$、$(3,4)$ 成分が $1$（対応する $(2,1)$, $(4,3)$ 成分が $-1$）で、ほかは $0$ である。これは交叉形式の標準形で、$V$ がザイフェルト行列として矛盾しないことがわかる。

${\Delta }_K(t)=\det (V-t{V}^T)$ は $t$ の高々 $4$ 次の多項式で、$t^4$ の係数は $\det (-V^T)=\det V$、定数項は $\det V$ である。$\det V$ を第 4 行で展開すると（第 4 行の $0$ でない成分は $(4,4)$ 成分 $-1$ だけ）
$$\det V=-\det \left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 2\\ 0& -1& 0\\ 2& 0& -1\end{array}\right).$$
この $3\times 3$ 行列式を第 2 行で展開すると $(-1)\cdot \det \left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)=(-1)(1-4)=3$。よって $\det V=-3\ne 0$ であり、${\Delta }_K(t)$ の最高次 $t^4$ と最低次 $t^0$ の係数はともに $-3$、次数の幅はちょうど $4$ である。

種数 $g$ のザイフェルト曲面からは $2g\times 2g$ のザイフェルト行列が得られ、$\det (V^{\prime }-t{V}^{\prime T})$ の次数の幅は $2g$ 以下である。アレクサンダー多項式は（$\pm t^k$ 倍を除いて）結び目の不変量なので、
$$2g(K)\ge ({\Delta }_K\text{ の次数の幅})=4,g(K)\ge 2.$$
一方、$K$ は種数 $2$ の曲面 $F$ を張るので $g(K)\le 2$。したがって $g(K)=2$。

符号数.
$$M=V+V^T=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 4& 0\\ 1& -2& 0& 0\\ 4& 0& -2& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right).$$
合同変換（対称な掃き出し）で対角化する。$(1,1)$ 成分 $-2$ を軸にして、残りの成分を $M_{ij}^{\prime }=M_{ij}-M_{i1}{M}_{1j}/M_{11}$ で更新すると
$$M_{22}^{\prime }=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2},M_{23}^{\prime }=0+\frac{4}{2}=2,M_{24}^{\prime }=0,M_{33}^{\prime }=-2+\frac{16}{2}=6,M_{34}^{\prime }=1,M_{44}^{\prime }=-2.$$
次に $-\frac{3}{2}$ を軸にすると
$$M_{33}^{\prime \prime }=6-\frac{2\cdot 2}{-3/2}=6+\frac{8}{3}=\frac{26}{3},M_{34}^{\prime \prime }=1,M_{44}^{\prime \prime }=-2.$$
残った $2\times 2$ 行列 $\left(\begin{array}{cc}26/3& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$ は行列式 $-\frac{52}{3}-1=-\frac{55}{3}<0$ なので、正と負の固有値を 1 つずつもつ。

以上で $M$ は $\mathrm{diag}\left(-2,-\frac{3}{2},\frac{26}{3},-\frac{55}{26}\right)$ と合同になり、シルベスターの慣性法則より正の固有値 $1$ 個、負の固有値 $3$ 個。よって $\sigma (K)=1-3=-2$。

（検算: $\det M=(-2)\cdot (-\frac{3}{2})\cdot (-\frac{55}{3})=-55$ で、$K$ の行列式 $|{\Delta }_K(-1)|=|\det M|=55$ は奇数であり、$K$ が結び目であることと整合する。また $|\sigma (K)|=2\le 2g(K)=4$ も満たす。）

したがって $(g(K),\sigma (K))=(2,-2)$。

ザイフェルト行列の確認. $V-V^T=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)$ で行列式は $1$ なので、結び目(境界が連結)のザイフェルト行列として矛盾しない。

アレクサンダー多項式. $u=t-1$ とおくと
$$V-t{V}^T=\left(\begin{array}{cccc}u& 1& -2u& 0\\ -t& u& 0& 0\\ -2u& 0& u& 1\\ 0& 0& -t& u\end{array}\right).$$
行 1,2 と 行 3,4 のブロックに分けると、ブロック間の成分が 0 でないのは $(1,3)$ と $(3,1)$ だけである。したがって行列式は、ブロック対角部分 $(u^2+t{)}^2$ と、置換 $(13)$ を含む項 $-(-2u)(-2u)\cdot u\cdot u=-4u^4$ の和:
$${\Delta }_K(t)=(u^2+t{)}^2-4u^4=(t-u^2)(3u^2+t)=(-t^2+3t-1)(3t^2-5t+3).$$
${\Delta }_K(1)=1\cdot 1=1$ で整合。次数は $4$(最高次の係数 $-3$、最低次の係数 $-3$)なので、$t$ の幅は $4$。

種数. アレクサンダー多項式の幅は $2g(K)$ 以下なので $g(K)\ge 4/2=2$。一方、種数 $2$ のザイフェルト曲面 $F$ をもつので $g(K)\le 2$。よって $g(K)=2$。

符号数. $A=V+V^T=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 4& 0\\ 1& -2& 0& 0\\ 4& 0& -2& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right)$。左上からの主小行列式は
$D_1=-2$、$D_2=3$、$D_3=-2(4)-1(-2)+4(8)=26$、$D_4=\det A$。第 4 列で展開して $D_4=-1\cdot 3+(-2)\cdot 26=-55$。

シルベスターの慣性法則(対角化の対角成分は $D_k/D_{k-1}$ の符号): $-2<0$、$3/(-2)<0$、$26/3>0$、$-55/26<0$。正が 1 個、負が 3 個なので $\sigma (K)=1-3=-2$。

検算: $\det A=-55<0$ で、負の固有値が奇数個(3 個)であることと整合。トレース $=-8<0$ とも整合。

答え: $(g(K),\sigma (K))=(2,-2)$。