結び目の種数とザイフェルトのアルゴリズム

ザイフェルトのアルゴリズムで $n$ 本の紐・ $c$ 交点のブレイドの閉包（結び目）から曲面を作り、その種数 $\frac{c - n + 1}{2}$ を上界として求められる。下界には $2 g (K) \geq span Δ_{K}$ を使える。正のブレイドの閉包では、スターリングスの定理（ファイバー結び目になり、このザイフェルト曲面が最小種数を与える）を引用して $g (K) = \frac{c - n + 1}{2}$ と決定できる。連結和で種数が和になることも使える

前提

ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）

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算数中学高校大学大学院

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ザイフェルト行列とアレクサンダー多項式（大学院数学結び目理論）

説明

結び目 $K$ の種数 $g (K)$ は、 $K$ を境界とする向き付け可能な連結曲面（ザイフェルト曲面）の種数の最小値です。ザイフェルトのアルゴリズムを使うと、ブレイドの閉包として与えられた結び目から具体的にザイフェルト曲面を作れ、その種数 $\frac{c - n + 1}{2}$ が $g (K)$ の上界になります。一方、アレクサンダー多項式の次数の幅から下界が得られ、さらに正のブレイドの閉包ならスターリングスの定理によって上界がそのまま種数になります。結び目の「複雑さ」を数で測りたいとき、連結和やトーラス結び目の種数を決めたいときに使います。

なぜそうしてよいのか

ザイフェルトのアルゴリズムは、向き付き図式のすべての交点を向きに沿って平滑化し、できた円（ザイフェルト円）それぞれに円板を張り、もとの交点の位置で隣り合う円板を半ひねりの帯でつなぐ、というものです。帯は向きが合うように付くので、できる曲面は向き付け可能で、境界はもとの結び目になります。 $n$ 本の紐のブレイド $β$ の閉包では、交点を平滑化すると各段の紐がそのまま 1 周する円になるので、ザイフェルト円は入れ子に並んだちょうど $n$ 個です。円板を高さをずらして重ね、 $σ_{i}^{\pm 1}$ の交点ごとに $i$ 番目と $i + 1$ 番目の円板を帯でつなぎます。

この曲面のオイラー標数は、円板 $n$ 枚（各 $1$ ）に帯を 1 本付けるごとに $1$ ずつ減るので $χ = n - c$ です。閉包が結び目なら各 $σ_{i}$ は少なくとも 1 回現れる（現れない $σ_{i}$ があると紐の置換が ${1, \dots, i}$ を保ち、閉包が 2 成分以上に分かれる）ので曲面は連結で、境界は 1 成分です。境界 1 成分の向き付け可能な連結曲面では $χ = 2 - 2 g - 1 = 1 - 2 g$ なので、 $g = \frac{1 - χ}{2} = \frac{c - n + 1}{2}$ 。 $g (K)$ は最小値なので $g (K) \leq \frac{c - n + 1}{2}$ です。

下界は前提の技能から出ます。種数 $g$ のザイフェルト曲面の $H_{1}$ は階数 $2 g$ なので、ザイフェルト行列 $V$ は $2 g \times 2 g$ で、 $Δ_{K} (t) = det (V - t V^{T})$ は次数 $2 g$ 以下の多項式です。最小種数の曲面で計算すれば、最高次と最低次の差 $span Δ_{K} \leq 2 g (K)$ が得られます。 $Δ_{K}$ の $\pm t^{k}$ 倍のあいまいさは幅を変えません。さらに、すべての交点が $σ_{i}$ （逆元なし）である正のブレイドの閉包については、スターリングスの定理により $K$ はファイバー結び目で、上の曲面はそのファイバーとして最小種数を与えます。よって $g (K) = \frac{c - n + 1}{2}$ と等号で決まります。種数は連結和で $g (K_{1} # K_{2}) = g (K_{1}) + g (K_{2})$ となることも知られています。

手順

ブレイドの語から紐の本数 $n$ と交点数 $c$ （ $σ_{i}^{\pm 1}$ の文字の総数）を読み取る
紐の置換を計算して閉包が結び目（1 成分）であることを確かめる。結び目なら $c - n + 1$ は偶数になる
ザイフェルトのアルゴリズムの曲面（円板 $n$ 枚・帯 $c$ 本、 $χ = n - c$ ）から上界 $g (K) \leq \frac{c - n + 1}{2}$ を得る
語が正のブレイド（すべての文字が $σ_{i}$ ）なら、スターリングスの定理を引用して $g (K) = \frac{c - n + 1}{2}$ と決定する
そうでないときは、アレクサンダー多項式を求めて下界 $g (K) \geq \frac{1}{2} span Δ_{K}$ を作り、上界と一致すれば種数が決まる
連結和なら各成分の種数を足す: $g (K_{1} # K_{2}) = g (K_{1}) + g (K_{2})$

例題

3 本の紐のブレイドの語 $(σ_{1} σ_{2})^{4}$ の閉包として表される結び目 $K$ （トーラス結び目 $T (3, 4)$ ）の種数 $g (K)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 紐は $n = 3$ 本。語は $σ_{1} σ_{2} σ_{1} σ_{2} σ_{1} σ_{2} σ_{1} σ_{2}$ で、文字は $c = 8$ 個。

手順 2: $σ_{1} σ_{2}$ の置換は互換 $(12)$ と $(23)$ の積で、長さ 3 の巡回置換になる。その 4 乗は、巡回置換の位数が $3$ なので 1 乗と同じ長さ 3 の巡回置換で、3 本の紐が 1 つにつながる。よって閉包は結び目で、 $c - n + 1 = 6$ は偶数。

手順 3: ザイフェルトのアルゴリズムで、入れ子の円板 3 枚と帯 8 本からなる曲面ができ、 $χ = 3 - 8 = - 5$ 。種数は $\frac{1 - ( - 5 )}{2} = \frac{8 - 3 + 1}{2} = 3$ なので $g (K) \leq 3$ 。

手順 4: 語の文字はすべて $σ_{1}, σ_{2}$ （逆元を含まない）なので正のブレイドである。スターリングスの定理より $K$ はファイバー結び目で、この曲面が最小種数を与える。よって $g (K) = 3$ 。

（参考: $T (p, q)$ の種数は一般に $\frac{( p - 1 ) ( q - 1 )}{2}$ で、 $p = 3, q = 4$ では $3$ となり一致する。）

答え: $3$

よくある誤り

正でないブレイドでも $\frac{c - n + 1}{2}$ をそのまま種数としてしまう誤り。これは一般には上界にすぎない。例えば 2 本の紐の語 $σ_{1}^{2} σ_{1}^{- 1}$ の閉包は $\frac{3 - 2 + 1}{2} = 1$ を与えるが、語は $σ_{1}$ に簡約でき閉包は自明な結び目なので $g = 0$ 。正しくは、正のブレイドでなければ下界 $\frac{1}{2} span Δ_{K}$ などと照合して決める
$2 g (K) = span Δ_{K}$ がいつも成り立つとしてしまう誤り。正しくは $2 g (K) \geq span Δ_{K}$ という不等式だけで、 $Δ_{K} ≐ 1$ なのに種数が正の結び目もある。下界と上界が一致したとき、あるいは正のブレイドでスターリングスの定理が使えるときにだけ種数が決まる
オイラー標数から種数を出すときに $χ = 2 - 2 g$ （境界のない閉曲面の式）を使い、 $g = \frac{2 - ( n - c )}{2} = \frac{c - n + 2}{2}$ としてしまう誤り。ザイフェルト曲面は境界が 1 成分あるので $χ = 1 - 2 g$ で、正しくは $g = \frac{c - n + 1}{2}$ 。例えば $σ_{1}^{3}$ （三葉結び目）では $\frac{3 - 2 + 1}{2} = 1$
交点数 $c$ の代わりに異なる生成元の種類の数や、紐の本数 $n$ の代わりに閉包の成分数を使ってしまう誤り。 $c$ は語の文字の総数、 $n$ はブレイドの紐の本数（ザイフェルト円の個数）である。例えば $σ_{1}^{3} σ_{2}^{3}$ では $c = 6, n = 3$ で $g = \frac{6 - 3 + 1}{2} = 2$ となり、これは $3_{1} # 3_{1}$ の種数 $1 + 1 = 2$ と合う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
3 本の紐のブレイド群 $B_{3}$ の標準生成元を $σ_{1}, σ_{2}$ とする（ $σ_{i}$ は $i$ 番目の紐と $i + 1$ 番目の紐の正の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向きに沿って向きを入れる）。ブレイド
$β = σ_{1}^{5} σ_{2}^{3} \in B_{3}$
の閉包 $K = β^$ は結び目（1 成分）である。結び目の種数 $g (K)$ を、 $S^{3}$ 内で $K$ を境界とする連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値と定める。 $g (K)$ を求めよ。ただし、正のブレイドの閉包に対してザイフェルトのアルゴリズムで作った曲面が最小種数を与えるというスターリングスの定理は、引用して用いてよい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

トーラス結び目のアレクサンダー多項式と種数（大学院数学結び目理論）