結び目理論の問題

4 本の紐のブレイド群 $B_4$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の交差で、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、符号 $+1$ の交点になるもの）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^2{\sigma }_3^3{\sigma }_2\in B_4$$
の閉包を $\hat{\beta }$ とする。$\hat{\beta }$ は結び目（1 成分）になる。この結び目の種数（$\hat{\beta }$ を境界とする $S^3$ 内の連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値）を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つを表す）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^4{\sigma }_3^2{\sigma }_4^3{\sigma }_2{\sigma }_3$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を考える。$\hat{\beta }$ は結び目（成分が 1 つの絡み目）であることが確かめられる。この結び目の種数（$3$ 次元球面内で $\hat{\beta }$ を境界とする向き付け可能な連結曲面の種数の最小値）を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つ、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向き（語を左から右へ読む向き）に沿って向きを入れる。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-2}{\sigma }_3{\sigma }_4^2{\sigma }_3{\sigma }_2^2$$
の閉包として得られる向き付けられた絡み目を $L=\hat{\beta }$ とする。$L$ の相異なる 2 つの成分 $K_i,K_j$ の絡み数 $\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ は、$K_i$ と $K_j$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ で定める。

$L$ のすべての成分の対 $\{K_i,K_j\}$（$i\ne j$）についての絡み数の和 $\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ を求めよ。

7 本の紐のブレイド群 $B_7$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_6$ とする。${\sigma }_i$ は位置 $i$ にある紐と位置 $i+1$ にある紐の交差 1 つを表し、${\sigma }_i^{-1}$ はその逆向きの交差を表す。ブレイドの語は左から順に（上から下へ）読むものとする。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_4^2{\sigma }_5{\sigma }_6^{-1}\in B_7$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を考える。上端で位置 $5$ から出発する紐が属する $\hat{\beta }$ の成分には、上端でどの位置から出発する紐が含まれるか。その位置の番号の集合を求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする。${\sigma }_i$ $(i=1,2)$ は、位置 $i$ にある紐と位置 $i+1$ にある紐の交差 1 つで、閉包にブレイドの進む向き（上から下）の向きを入れたとき正の交差（符号 $+1$）になるものとし、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差（符号 $-1$）とする。語は左から順に上から下へ読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1{\sigma }_2^2{\sigma }_1{\sigma }_2^{-4}{\sigma }_1^2$$
の閉包を $L$ とし、各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れる。$L$ は 3 成分の絡み目になる。$j=1,2,3$ に対し、ブレイドの上端で位置 $j$ から出発する紐を含む成分を $K_j$ とする。

絡み数 $\mathrm{lk}(K_a,K_b)$ を、$K_a$ と $K_b$ の間の交差（$K_a$ と $K_b$ の一方が上、他方が下を通る交差）の符号の和の $\frac{1}{2}$ と定める。組
$$(\mathrm{lk}(K_1,K_2),\mathrm{lk}(K_1,K_3),\mathrm{lk}(K_2,K_3))$$
をこの順に求めよ。