ブレイドの置換と閉包の成分数

7 本の紐のブレイド群 $B_7$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_6$ とする。${\sigma }_i$ は位置 $i$ にある紐と位置 $i+1$ にある紐の交差 1 つを表し、${\sigma }_i^{-1}$ はその逆向きの交差を表す。ブレイドの語は左から順に（上から下へ）読むものとする。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_4^2{\sigma }_5{\sigma }_6^{-1}\in B_7$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を考える。上端で位置 $5$ から出発する紐が属する $\hat{\beta }$ の成分には、上端でどの位置から出発する紐が含まれるか。その位置の番号の集合を求めよ。

トーラス絡み目 $T(6,9)$ を考える。$T(6,9)$ は 6 本の紐のブレイド群 $B_6$ の元
$$\beta =({\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_4{\sigma }_5{)}^9$$
の閉包として得られる。ここで ${\sigma }_i$ は $i$ 番目と $i+1$ 番目の紐の交差であり、閉包の各成分にはブレイドの進む向きに沿った向きを入れる。この向きのもとで、${\sigma }_i$ に対応する交点はすべて正の交点（符号 $+1$）であるとする。

$T(6,9)$ の成分の個数を $\mu$ とし、成分を $L_1,\dots ,L_{\mu }$ とするとき、すべての成分の対についての絡み数の和
$$\sum _{1\le i<j\le \mu }\mathrm{lk}(L_i,L_j)$$
を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つを表す）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^4{\sigma }_3^2{\sigma }_4^3{\sigma }_2{\sigma }_3$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を考える。$\hat{\beta }$ は結び目（成分が 1 つの絡み目）であることが確かめられる。この結び目の種数（$3$ 次元球面内で $\hat{\beta }$ を境界とする向き付け可能な連結曲面の種数の最小値）を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の正の交差 1 つ、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差 1 つを表し、閉包の各紐にはブレイドの進む向き（語を左から右へ読む向き）に沿って向きを入れる。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^{-2}{\sigma }_3{\sigma }_4^2{\sigma }_3{\sigma }_2^2$$
の閉包として得られる向き付けられた絡み目を $L=\hat{\beta }$ とする。$L$ の相異なる 2 つの成分 $K_i,K_j$ の絡み数 $\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ は、$K_i$ と $K_j$ の間の交差の符号の和の $\frac{1}{2}$ で定める。

$L$ のすべての成分の対 $\{K_i,K_j\}$（$i\ne j$）についての絡み数の和 $\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$ を求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする。${\sigma }_i$ $(i=1,2)$ は、位置 $i$ にある紐と位置 $i+1$ にある紐の交差 1 つで、閉包にブレイドの進む向き（上から下）の向きを入れたとき正の交差（符号 $+1$）になるものとし、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差（符号 $-1$）とする。語は左から順に上から下へ読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1{\sigma }_2^2{\sigma }_1{\sigma }_2^{-4}{\sigma }_1^2$$
の閉包を $L$ とし、各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れる。$L$ は 3 成分の絡み目になる。$j=1,2,3$ に対し、ブレイドの上端で位置 $j$ から出発する紐を含む成分を $K_j$ とする。

絡み数 $\mathrm{lk}(K_a,K_b)$ を、$K_a$ と $K_b$ の間の交差（$K_a$ と $K_b$ の一方が上、他方が下を通る交差）の符号の和の $\frac{1}{2}$ と定める。組
$$(\mathrm{lk}(K_1,K_2),\mathrm{lk}(K_1,K_3),\mathrm{lk}(K_2,K_3))$$
をこの順に求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は左から $i$ 番目と $i+1$ 番目の位置にある紐の交差 1 つで、紐にブレイドの上から下へ進む向きを入れたとき正の交差（符号 $+1$）になるものとし、${\sigma }_i^{-1}$ は負の交差（符号 $-1$）とする。ブレイドの語は左の文字から順に、上から下へ積み重ねて読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^2{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_3{\sigma }_4^3{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_1^{-3}{\sigma }_3^2{\sigma }_4^{-1}$$
の閉包を $L$ とし、$L$ に紐の向きから定まる向きを入れる。ブレイドの上端で左から $i$ 番目の点を通る $L$ の成分を $L_i$ と書く。$L_1,L_3,L_5$ は互いに異なる成分である。

絡み数の組
$$(\mathrm{lk}(L_1,L_3),\mathrm{lk}(L_1,L_5),\mathrm{lk}(L_3,L_5))$$
をこの順に求めよ。

4 本の紐のブレイド群 $B_4$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ とする（${\sigma }_i$ は $i$ 番目の紐と $i+1$ 番目の紐の交差で、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、符号 $+1$ の交点になるもの）。ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_2^2{\sigma }_3^3{\sigma }_2\in B_4$$
の閉包を $\hat{\beta }$ とする。$\hat{\beta }$ は結び目（1 成分）になる。この結び目の種数（$\hat{\beta }$ を境界とする $S^3$ 内の連結で向き付け可能な曲面の種数の最小値）を求めよ。

5 本の紐のブレイド群 $B_5$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_4$ とする。${\sigma }_i$ は $i$ 番目の位置の紐と $i+1$ 番目の位置の紐が交差する 1 つの交点を表し、閉包の各紐にブレイドの進む向きに沿って向きを入れたとき、${\sigma }_i$ の交点の符号は $+1$、${\sigma }_i^{-1}$ の交点の符号は $-1$ とする。ブレイドの語は左から右へ順に読む。

ブレイド
$$\beta ={\sigma }_1^3{\sigma }_3^2{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_4^4{\sigma }_2^{-1}{\sigma }_3^{-3}\in B_5$$
の閉包 $\hat{\beta }$ を、上と同じ向きを入れた有向絡み目とする。$\hat{\beta }$ の成分の個数を $\mu$、$\hat{\beta }$ の相異なる 2 成分 $K_i,K_j$ $(i<j)$ のすべての組についての絡み数の和を
$$\Lambda =\sum _{i<j}\mathrm{lk}(K_i,K_j)$$
とする。組 $(\mu ,\Lambda )$ をこの順に求めよ。

$n$ を $0$ でない整数とし、$2$ 本のひもからなるブレイド ${\sigma }_1^{2n}$ の閉包として得られる絡み目をトーラス絡み目 $T(2,2n)$ とする（$n<0$ のときは ${\sigma }_1^{2n}=({\sigma }_1^{-1}{)}^{2|n|}$ と解釈する）。

向きの付いた $2$ 成分絡み目 $L=K_1\cup K_2$ の図式 $D$ において、$K_1$ と $K_2$ が交わる交点（混合交点）の全体を $C_{12}(D)$ とし、各交点 $c$ には通常の右手系の規則で符号 $\epsilon (c)\in \{+1,-1\}$ を定める。絡み数を
$$\mathrm{lk}(K_1,K_2)=\frac{1}{2}\sum _{c\in C_{12}(D)}\epsilon (c)$$
で定める。この値が向き付き絡み目 $L$ の図式 $D$ の取り方によらない（向きを保ったライデマイスター移動で不変である）ことは用いてよい。また、絡み目 $L$ の図式 $D$ の交点の個数を $N(D)$ とし、$L$ の交点数 $c(L)$ を、$L$ のすべての図式 $D$ にわたる $N(D)$ の最小値と定める（交点数は向きによらない）。

このとき、$T(2,2n)$ の交点数が $c(T(2,2n))=2|n|$ であることを証明せよ。

$n\ge 2$ を整数とし、$n$ 本のひものブレイド群 $B_n$ を、生成元 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ と関係式
$${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i(|i-j|\ge 2),{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i={\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}(1\le i\le n-2)$$
によるアルティンの表示で定める。${\sigma }_i^{\pm 1}$ は、位置 $i$ と位置 $i+1$ のひもが $1$ 回交差する初等ブレイドを表す（${\sigma }_i$ と ${\sigma }_i^{-1}$ は交差の上下が逆）。

${\sigma }_1^{\pm 1},\dots ,{\sigma }_{n-1}^{\pm 1}$ からなる語 $w={\sigma }_{i_1}^{{\epsilon }_1}{\sigma }_{i_2}^{{\epsilon }_2}\cdots {\sigma }_{i_m}^{{\epsilon }_m}$（$m\ge 0$, ${\epsilon }_k\in \{1,-1\}$）に対し、その指数和を $e(w)={\sum }_{k=1}^m{\epsilon }_k$ とする。また、$w$ の文字を上から順に初等ブレイドとして並べたブレイドの図式で、上端の位置 $j$ の端点と下端の位置 $j$ の端点（$j=1,\dots ,n$）を互いに交わらない弧で結んで得られる絡み目の図式を、$w$ の閉包図式とよぶ。

語 $w$ の閉包図式が結び目（$1$ 成分の絡み目）を表すとする。このとき、$B_n$ において $w$ と同じ元を表す任意の語 $w^{\prime }$ に対して $e(w^{\prime })\equiv n-1(\mathrm{mod}2)$ であることを証明せよ。